Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння

Розглянемо довільне рівняння з трьома змінними

. (1)

Нагадаємо, що його називають рівнянням деякої поверхні , якщо координати кожної точки поверхні в деякій афінній системі координат задовольняють рівняння (1), а також кожний розв’язок рівняння (1) задає точку на поверхні. Деякі випадки поверхонь та їх рівнянь нам уже знайомі. Зокрема, рівняння першого степеня

,

де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, визначає площину, а рівняння

задає сферу з центром у точці , радіус якої . Водночас із шкільного курсу геометрії нам також відомі і інші поверхні, зокрема такі, як циліндр та конус, тому хоча б з точки зору аналітичної геометрії нас повинно зацікавити питання про те, якими рівняннями описуються ці поверхні.

Дальше ми будемо розглядати поверхні другого порядку, тобто поверхні, які задаються рівнянням

, (2)

де – деякі числові коефіцієнти, причому одночасно не дорівнюють нулю. Рівняння (2) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку. У лекції 25 ми доведемо той факт, що завжди можна вибрати напрямки координатних осей так, щоб у перетвореному рівнянні поверхні були відсутні доданки, які містять добутки та . Тому, не зменшуючи загальності, будемо розглядати рівняння (1) у виді

, (3)

а також вважати, що система координат, в якій розглядається поверхня, – прямокутна декартова.

Розглянемо частинний випадок рівняння (3), коли . Рівняння запишемо у вигляді

,

де . Очевидно, що при дане рівняння визначає сферу з центром в точці , радіус якої . При рівняння визначає сферу нульового радіуса (в цьому випадку поверхні належить єдина точка ), а при координати жодної точки простору не задовольняють рівняння. Поверхню, задану таким рівнянням, називають уявною сферою.