Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів

Перше, ніж перейти до розгляду окремих поверхонь, розглянемо один із способів їх дослідження – так званий метод перерізів. Насамперед зауважимо, що система рівнянь

(4)

задає в просторі деяку лінію , оскільки вона визначає певну множину точок, які одночасно належать поверхням та . Наприклад, система

задає в просторі коло, яке утворюється при перетині сфери та площини. Необхідний при цьому факт, що сфера та площина перетинаються, випливає з того, що радіус сфери більший, ніж відстань від центра сфери до площини.

Нехай точка належить лінії , а також рівняння можна подати у виді . Система

(5)

рівносильна системі (4), отже, визначає в просторі ту саму лінію . Очевидно, що перше рівняння системи (5), крім точки , задовольняють також координати кожної точки , де – довільне. Серед таких точок буде також точка , що належить площині . Оскільки кожна точка проектується у відповідну точку , то рівняння можна розглядати, як ортогональну проекцію лінії на площину . Аналогічно, якщо виникає потреба спроектувати лінію на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну , а при проектуванні лінії на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну . Наприклад, проекцією кола

на площину буде лінія, рівняння якої на площині має вигляд

,

або

.

Не займаючись дослідженням одержаного рівняння, зауважимо, що воно, очевидно, задає еліпс.

Дальше при дослідженні поверхні (1) ми будемо перетинати її різними площинами (зокрема такими, які паралельні до координатних площин) та, проектуючи лінії перетину на координатні площини, робити висновки про форму поверхні. Перейдемо до розгляду частинних випадків рівняння (3).