Поверхні обертання

Перейдемо до розгляду поверхонь, які утворюються при обертанні деякої лінії навколо певної прямої. Вважатимемо, що лінія та пряма лежать в одній площині. Такі поверхні називаються поверхнями обертання.

Нехай у площині рівняння , де , задає деяку лінію . Розглянемо поверхню, утворену в результаті її обертання навколо осі (рис.5).

Нехай точка належить поверхні. Проведемо через неї площину перпендикулярно до осі , яка перетне вісь в деякій точці , а також лінію у точці . Оскільки та , то

. (5)

Одержана рівність виражає зв'язок між змінними та , тому є рівнянням шуканої поверхні. При дістаємо , тому рівність (5) залишається вірною, тобто рівняння (5) в усіх випадках є рівнянням шуканої поверхні обертання.

Наведемо приклади поверхонь обертання. Нехай у площині задана пряма . При її обертанні навколо осі дістаємо поверхню, яка задається рівнянням , тобто є конусом. При обертанні навколо осі прямої дістаємо круговий циліндр . Обертання еліпса , гіперболи , або параболи навколо осі приводить нас до рівнянь , та відповідно, які, як нам уже відомо, виражають еліпсоїд, гіперболоїд та параболоїд обертання.