Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади

Нехай у просторі задана деяка лінія та вектор , який задає певний напрям.

Означення 1. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та паралельні даному напряму, називають циліндричною поверхнею.

Для того, щоб скласти рівняння такої поверхні у деякій афінній системі координат, вважатимемо, що лінія задана системою рівнянь

, (1)

тобто задана, як лінія перетину двох поверхонь, а вектор заданий своїми координатами: . Нехай точка належить циліндричній поверхні. Проведемо через неї у напрямку вектора пряму, яка перетне лінію у деякій точці , (рис. 1). Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які зв’язують координати векторів:

. (2)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

. (3)

Підставляючи рівності (2) в (3), дістаємо

.

Одержані співвідношення містять змінний параметр , виключаючи який із системи, дістаємо деяку рівність , яка зв’язує змінні та і є шуканим рівнянням циліндричної поверхні. Лінію називають напрямною, а прямі, які перетинають та мають напрям вектора – твірними циліндричної поверхні.

Користуючись наведеним алгоритмом, складемо рівняння циліндричної поверхні, напрямною якої є лінія, що лежить в площині та має рівняння , а твірні паралельні до осі . Рівності (2) у цьому випадку матимуть вигляд

.

Підставляючи їх у систему

,

дістаємо рівняння циліндричної поверхні , яке, як бачимо, співпадає з рівнянням лінії. Вибираючи в ролі напрямних лінії другого порядку: еліпс (зокрема коло), гіперболу та параболу, дістаємо три види поверхонь другого порядку, які є частинними випадками циліндричних поверхонь: – еліптичний циліндр (зокрема – круговий циліндр, рис. ), – гіперболічний циліндр (рис. ) та – параболічний циліндр (рис. ).