Відстань між двома точками та площа трикутника у полярних координатах

Розглянемо окремі співвідношення, які випливають із означення полярних координат.

Нехай у полярній системі координат задані дві точки та (рис. 4). Довжину відрізка обчислимо, застосувавши до трикутника теорему косинусів:

. (3)

Якщо точки та лежать на одній прямій і не утворюють трикутник, то у випадку, коли точка лежить поза відрізком маємо . Якщо ж точка належить відрізку , то . Обидва одержані співвідношення є частинними випадками формули (3), оскільки у першому випадку , а у другому .

Нехай координатами своїх вершин заданий довільний трикутник : , , причому (подвійна рівність не допускається, оскільки у цьому випадку точки не будуть утворювати трикутник). Обчислимо його площу .

При розташуванні вершин трикутника так, як зображено на рис. 5_а, дістаємо

=

. (4)

У випадку, зображеному на рис. 5_б, маємо , що відповідає співвідношенню (4).

Якщо ж задані точки розташовані так, як зображено на рис. 5_в, то

.

Але, оскільки тут кут між сторонами та дорівнює , а його синус дорівнює , то і у цьому випадку має місце рівність (4).

Таким чином, в усіх розглянутих випадках площу трикутника можна знаходити, як модуль правої частини рівності (4).