Взаємне розташування двох прямих у просторі

Як відомо, дві прямі в просторі можуть бути паралельними (зокрема співпадати), перетинатися або бути мимобіжними. Встановимо, як розпізнавати ці випадки, якщо кожна з прямих задана точкою що належить прямій, та напрямним вектором .

Очевидно, що випадок, коли обидві прямі лежать в одній площині (тобто паралельні або перетинаються), чи мимобіжні, залежить від того компланарні, чи ні вектори та (рис. 3). Нагадаємо, що необхідною та достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку. Тому розглянемо число

.

Якщо , то вектори , та компланарні, тому прямі та лежать в одній площині. Якщо при цьому вектори та колінеарні, тобто виконуються умови

, (2)

То.

Якщо , а умова (2) не виконується, то прямі та перетинаються. Прямі та можуть співпадати, якщо крім умови (2) виконується також рівність

яка означає, що точка на другій прямій одночасно належить також і першій прямій.

Якщо , то вектори , та не компланарні, і прямі та мимобіжні.

Кутом між двома мимобіжними прямими в просторі називають кут між двома прямими, що проходять через деяку спільну точку і паралельні до заданих прямих. У випадку аналітичного задання мимобіжних прямих та кут між ними шукають як кут між їхніми напрямними векторами та

.