Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною

Дослідимо, як розташовані в просторі пряма та площина , знаючи рівняння цих фігур:

: , : ^.

Пряма буде паралельною до площини , якщо вектор , який паралельний до прямої, буде одночасно паралельним до площини. Використовуючи умову паралельності вектора до площини, дістаємо

. (1)

Одержана рівність є необхідною і достатньою умовою паралельності прямої та площини. Якщо, крім умови (1), точка прямої належить також площині , тобто виконується рівність , то пряма належить площині . Якщо умова (1) не виконується, то пряма та площина перетинаються. При необхідності їх точку перетину можна знайти, розв’язавши відповідну систему рівнянь.

Нехай система координат прямокутника декартова та пряма перетинає площину. Якщо при цьому вектор , який паралельний до прямої , та вектор що перпендикулярний до площини , будуть колінеарними, тобто, якщо виконуються рівності

,

топряма буде перпендикулярною до площини. У цьому випадку кут, який вона утворює з площиною, дорівнює (рис. 1).

Нехай пряма не перпендикулярна до площини . Знайдемо кут між прямою та площиною, тобто гострий кут між прямою та її ортогональною проекцією на площину – прямою (на рис. 2 – це кут між прямими та ). Щоб визначити даний кут скористаємося векторами та . Позначивши кут між ними через , дістаємо

.

Оскільки у випадку, коли кут – гострий та , якщо кут тупий, то в обох випадках дістаємо

звідки

.