Задачі. Задача 1. Зобразити лінію перетину площин та

Задача 1. Зобразити лінію перетину площин та .

Розв’язання. Зобразимо площину . Для цього знайдемо точки та її перетину з осями та . Оскільки || (в рівнянні площини відсутня змінна ), то, провівши через точки та прямі та паралельно до осі , дістанемо зображення площини (рис. 6). На осі знаходимо точку , яка належить площині , і через неї проводимо прямі та . Точка і прямі та визначають площину . Точка перетину прямих та належить шуканій прямій перетину площин, оскільки обидві прямі лежать в одній площині (площині ) і перетинаються. Аналогічно, точка перетину прямих та , які лежать в площині , теж належить лінії перетину. Таким чином, шуканою прямою є пряма .

Задача 2. Скласти рівняння ортогональної проекції прямої , заданої канонічним рівнянням , на площину , задану рівнянням ^.

Розв’язання. Скористаємося вектором який перпендикулярний до площини та вектором , який паралельний до прямої . Ці вектори не колінеарні, тому пряма не перпендикулярна до . Отже її проекцією буде деяка пряма .

Другу площину , якій належить s, проведемо через пряму , перпендикулярно до . Очевидно, що проходить через точку , яка належить прямій і паралельна до векторів та . Скориставшись співвідношенням (2), дістаємо рівняння площини :

,

яке запишемо у вигляді

,

або

Рівняння шуканої проекції подамо у вигляді (10), як перетин площин та .

Відповідь.

Задача 3. Три грані куба з ребром 1 належать координатним площинам. Побудувати переріз куба площиною

.

Розв’язання. Зобразимо заданий куб та площину , побудувавши на осях точки (рис. 7). Знаходимо точку перетину прямих та (обидві прямі лежать в площині ) та точку P перетину прямих та . Пряма PN лежить у площині та в площині і перетинає ребра верхньої грані куба в точках R та S. Тепер знаходимо точку перетину прямих та і проводимо пряму , яка перетне ребро у деякій точці T.

Відповідь. Трикутник .

Задача 4. Три ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, а їх довжини дорівнюють та . Знайти ребро куба, вписаного в цю піраміду, якщо одна з вершин куба співпадає з вершиною піраміди

Розв’язання. Нехай ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні. Впишемо в цю піраміду куб, одна з вершин якого (на рис. 8 – точка ) належить грані піраміди. Нехай ребро куба дорівнює . Тоді у системі координат, зображеній на рисунку 8, рівняння площини запишеться у вигляді . Оскільки точка належить цій площині, то виконується рівність . З одержаного рівняння знаходимо .

Відповідь. .