Різні способи задання площини

1). Складемо рівняння площини у довільній афінній системі координат у тому випадку, коли вона задається перетином двох прямих.

Нехай – спільна точка цих прямих, а два не колінеарні вектори та задають їхні напрямки (рис. 1). Точка належатиме площині, визначеній даними прямими, тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть компланарними, тобто коли їхній мішаний добуток дорівнюватиме нулю.

З умови дістаємо рівність

(2)

яка і є шуканим рівнянням площини.

Рівняння (2) можна записати у вигляді (1). У цьому випадку

, , .

Одержані коефіцієнти не можуть одночасно дорівнювати нулю, оскільки тоді, як легко перевірити, вектори та були б колінеарними. Тому рівняння (2) є рівнянням першого степеня.

2). Нехай площина задана трьома точками , які не лежать на одній прямій. Тоді, скориставшись рівнянням (2), в якому покладемо

, ,

а замість точки використаємо точку , дістанемо рівняння

. (3)

Одержане співвідношення називають рівнянням площини, яка проходить через три задані точки.

3). Нехай площина відтинає на осях відрізки відповідно (рис.2). У цьому випадку для того, щоб скласти рівняння площини, введемо в розгляд точки та скористаємось попереднім результатом, тобто рівнянням (3). Дістаємо

,

або . Звідси, поділивши на , отримуємо

(4)

Одержане рівняння називають рівнянням площини у відрізках на осях.

4). Нехай задана прямокутна декартова система координат . Розглянемо деяку площину із заданою на ній точкою та вектором який перпендикулярний до площини (рис.3). Точка належатиме площині тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть перпендикулярними, тобто коли виконується умова . Обчисливши скалярний добуток векторів та , отримаємо рівність

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням площини, яка проходить через задану точку, перпендикулярно до даного напрямку. Порівнюючи рівності (1) та (5), можна зробити наступний висновок: у прямокутній декартовій системі координат коефіцієнти біля змінних та у рівнянні площини визначають вектор , який перпендикулярний до площини.