Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності

(3)

у випадку, коли , та відмінні від нуля. Зауважимо, що у випадку паралельності площин, якщо , то і . Справді, якби 0 і , то площина була б паралельна осі , в той час, коли площина до осі не паралельна. При з рівності (2) дістаємо . Аналогічно, при дістаємо . Тобто якщо деякі із коефіцієнтів біля змінних в рівнянні однієї з площин рівні нулю, то для паралельності площин необхідно, щоб у рівнянні другої площини відповідні коефіцієнти теж дорівнювали нулю.

Нехай та , , . Також вважатимемо, що точка . Площини та співпадатимуть, якщо точка . Із рівностей , , помноживши другу із них на та віднявши від першої, дістаємо . Звідси дістаємо умову співпадання двох площин у вигляді пропорції

(наявність нуля в одному із знаменників вимагає рівності нулю відповідного чисельника).

Нехай умова (3) паралельності площин не виконується, тобто площини перетинаються. При перетині двох площин утворюються чотири двогранні кути, величини яких ми хочемо визначити, користуючись рівняннями площин. Вважатимемо систему координат прямокутною декартовою. Оскільки вектор та вектор , то кут між векторами та буде дорівнювати одному із двогранних кутів між площинами (рис. 3).

Скориставшись скалярним добутком векторів та , дістаємо

.

Зокрема площини будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли , тобто, коли виконується умова