Різні способи задання прямої в просторі

1). У загальній афінній системі координат розглянемо пряму , задану точкою та напрямним вектором . Нехай – довільна точка цієї прямої. Очевидно, що точка належить прямій тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні. Із пропорційності координат цих векторів дістаємо співвідношення

, (7)

яке називають канонічним рівнянням прямої в просторі.

2). Прирівнявши одержані відношення до параметра , дістаємо

(8)

Одержані рівняння називають параметричними рівняннями прямої в просторі. Їх використовують, наприклад, у випадку, коли деякі з чисел у рівнянні (7) дорівнюють нулю.

Аналогічно до параметричних рівнянь прямої на площині (див. лекцію 7. п.2), параметр має свій геометричний зміст, а саме: якщо вектор – одиничний, тобто якщо , то число дорівнює відстані від точки до точки . Це створює додаткову можливість знаходити на прямій точки, розташовані на певній відстані від заданої. Наприклад, нехай задана пряма

.

До неї паралельний вектор , а, отже, і його орт . Задамо пряму рівняннями

, , .

Тепер, щоб знайти на прямій точки, розташовані від точки на певній відстані (нехай на відстані 6), достатньо в одержані рівняння прямої підставити . Отримуємо дві точки такі, що

3). Нехай пряма проходить через дві точки . Тоді, скориставшись рівнянням прямої у вигляді (7) та замінивши в ньому координати точки координатами точки і використавши вектор у ролі напрямного вектора , дістанемо

(9)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої в просторі, що проходить через дві задані точки.

4). У деяких випадках пряму в просторі зручно задавати, як лінію перетину двохплощин, тобто у вигляді системи рівнянь

(10)

При цьому, оскільки площини повинні перетинатися, будемо вимагати, щоб коефіцієнти біля змінних в цих рівняннях не були пропорційними. Перехід від задання прямої у вигляді (10) до виду (7) або (8) можна здійснювати, знайшовши, наприклад, два довільні розв’язки системи (10), або знайшовши координати напрямного вектора прямої. Останній можна одержати, як векторний добуток векторів нормалей до даних площин, тобто векторів та .

Зробимо ще одне зауваження.

Рівність (7) можна записати у вигляді однієї із трьох систем

; ; .

Кожне з рівнянь систем є рівнянням першого степеня, тому є рівняннями площин, а відсутність однієї змінної в кожному рівнянні говорить про паралельність відповідної площини до певної координатної осі. Тому канонічне рівняння прямої (7) фактично задає пряму, як перетин трьох площин, кожна з яких паралельна до певної координатної осі.