Вычисление двойного интеграла с помощью повторного интегрирования

Пусть функция определена в -трапециевидной области , где .

Теорема 1. Если 1) существует двойной интеграл по области , 2) при каждом фиксированном существует определенный интеграл , то существует повторный интеграл

причем справедливо равенство

. (2)

Если (т.е. - -трапециевидная область), то при соответствующих условиях справедлива формула

. (3)

Для области , являющейся одновременно - трапециевидной и - трапециевидной, из равенств (2) и (3) следует, что

. (4)

Замечание 1. Область более сложного вида разбивается на трапециевидные части, к которым применима формула (2) или (3).

Замечание 2. В обеих формулах (2) и (3) внешний интеграл в повторном интеграле справа имеет постоянные пределы интегрирования.

Замечание 3. Равенство (4) используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле.