Определение двойного интеграла

I. Двойные интегралы

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой ограниченной квадрируемой области задана функция . Разобьем произвольной сеткой кривых нулевой площади на n частей , не имеющих общих внутренних точек. Частичная область ограничена кривыми нулевой площади и поэтому квадрируема (пусть ее площадь ). Выберем в каждой области по одной произвольной точке и совокупность всех частичных областей с выбранными в них точками назовем разбиением Т области . Величину назовем диаметром разбиения. Составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого найдется такое , что при любом разбиении области , у которого , и при любом выборе точек выполняется неравенство

.

Предел интегральных сумм называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . Итак,

(1)