Метод С-дискриминант

Этот метод заключается в нахождении особых решений уравнения по его общему интегралу.

Уравнение будем называть общим интегралом дифференциального уравнения в области D, если при соответствующем выборе постоянной С это уравнение дает любую интегральную линию нашего уравнения, проходящую в области D.

Кривая g называется огибающей семейства кривых , если в каждой своей точке она касается одной из кривых этого семейства и в разных точках касается разных кривых.

Если есть общий интеграл уравнения , то огибающая этого семейства кривых, если она существует, является, очевидно, особой интегральной кривой уравнения.

Теорема 9. Если кривая является огибающей семейства кривых , то функция удовлетворяет системе уравнений

(19)

Кривые, чьи уравнения удовлетворяют системе (19), называются С-дискриминантными кривыми (СДК).

Согласно теореме 9 любая огибающая является СДК, но не любая СДК является огибающей. Поэтому для отыскания особых решений уравнения при известном его общем решении нужно найти все его СДК, а потом среди них выделить огибающие семейства .

Замечание 11. Если во всех точках СДК , то СДК есть огибающая.