![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 7. Если и
для
, то
такое, что
. (15)
Положим
;
тогда равенство (15) очевидно. Включение следует из оценок (14).
▲
Теореме 7 можно придать другую форму, если учесть включение .
Теорема 8. Если , то
такое, что
. (16)
![]() |
Рис. 2.
Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции
равна площади прямоугольника
, имеющего высоту
и основание
(рис. 2).
5. Интеграл с переменным верхним пределом. Сейчас перед нами стоит задача вывода основной формулы интегрального исчисления, которая устанавливает связь между понятиями определенного интеграла и первообразной.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и
. Очевидно, что при изменении одного из пределов (например, верхнего) величина интеграла будет изменяться.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если , то
интегрируема по любой части этого отрезка, и поэтому для
существует интеграл
,
называемый интегралом с переменным верхним пределом.
Значение функции раскрывает следующая теорема.
Теорема 9. Если , то функция
дифференцируема в любой внутренней точке
этого отрезка (
), причем
.
Зафиксируем любое значение
и придадим ему приращение
столь малое, чтобы точка
лежала внутри отрезка
, т.е.
. Тогда
. Найдем производную функции
. Имеем
.
Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении:
,
где , если
(или
, если
). Отсюда
. Так как функция
непрерывна на
и
при
, то
.
Поэтому
. ▲
Замечание. Нами установлено, что любая непрерывная на отрезке функция
имеет на этом отрезке первообразную, а именно, функцию
. Поскольку всякая другая первообразная для функции
может отличаться от
только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде
,
где – произвольная постоянная.
В силу вышеизложенных соображений теорему 9 часто называют теоремой о существовании первообразной для непрерывной функции.
6. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема 9 не только указывает на связь между понятиями неопределенного и определенного интеграла, но и дает практический способ вычисления определенных интегралов в случае, когда подынтегральная функция непрерывна.
Теорема 10. Если функция , то
, (17)
где – первообразная для функции
. Формула (17) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Поскольку функция
непрерывна на отрезке
, то она интегрируема на нем и, значит, существует
. Далее, в силу непрерывности функции
на
у нее на этом отрезке существует первообразная (теорема 9).
Мы установили, что функция является одной из первообразных для функции
; следовательно, для любой первообразной
имеем
. (18)
Отметим, что равенство (18) выполняется для .
Поскольку и из (18)
, то
. Следовательно,
, в частности,
. Но
, откуда получаем равенство (17). ▲
Разность принято условно записывать в виде
, поэтому формула (17) в краткой записи выглядит так:
.
7. Методы вычисления определенных интегралов. Так как формула Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от непрерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы вычисления неопределенных интегралов переносятся и на задачу вычисления определенных интегралов. Сформулируем эти методы с учетом специфики определенных интегралов.
Теорема 11 (о замене переменной). Пусть:
1) ,
;
2) для
;
3) .
Тогда
.
Для доказательства этого равенства достаточно применить к обеим его частям формулу Ньютона-Лейбница, учитывая при этом, что если будет первообразной для
, то функция
будет первообразной для
.
Пример.
.
Теорема 12 (об интегрировании по частям). Пусть . Тогда
.
Справедливость этой формулы следует из равенства и применения формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от функции
, для которой первообразной будет функция
.
Пример.
.
Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских фигур самых различных конфигураций.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Определенные интегралы имеют многочисленные приложения в самых разнообразных задачах. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых геометрических приложений.
1. Вычисление площадей.
а) Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, снизу – отрезком
оси
, а по бокам – прямыми
и
, вычисляется по формуле
. (19)
Обоснование этой формулы было дано ранее при введении понятия определенного интеграла. А именно, было показано, что интегральная сумма представляет собой приближенное значение площади криволинейной трапеции, и это приближенное значение тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка
. Точное значение площади
получается как предел интегральных сумм при
, если он, конечно, существует. Но указанный предел является ни чем иным как определенным интегралом
.
Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских фигур самых различных конфигураций.
Если верхняя граница криволинейной трапеции задана уравнениями в параметрической форме ,
,
, причем
,
, то произведем в формуле (19) замену переменной, полагая
,
. Тогда получим
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ,
(
).
![]() |
Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в I четверти (рис. 3). Следовательно, искомая площадь равна
.
В частности, если полуоси эллипса равны (), то получаем известную формулу площади круга
. ▲
б) Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением ,
, причем функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
. Плоскую фигуру, ограниченную дугой
этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы
и
(
,
), называют криволинейным сектором (рис. 4).
![]() |
Площадь криволинейного сектора
. (20)
Разобьем произвольно отрезок
точками
на
частей, выберем на каждом частичном отрезке
произвольно точку
(
) и построим круговые секторы с радиусами
. В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади
криволинейного сектора:
,
где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (20). Так как функция
непрерывна на отрезке
, то предел этой суммы при
существует и равен интегралу (20). Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:
. ▲
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: , где
– положительное число.
![]() |
При изменении от
до
полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор
(рис. 5). Поэтому по формуле (20) имеем
. ▲
Расстояние от точки до полюса равно
. Поэтому круг радиуса
имеет площадь
, т.е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна
площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.
2. Длина дуги кривой. Пусть требуется определить длину дуги кривой
,
, где
. Разобьем отрезок
на
частей точками
. Тогда длина
дуги
приближенно равна длине ломаной, вписанной в данную кривую:
, (21)
где – длина хорды (одного звена ломаной)
(рис. 6). Здесь точка
имеет координаты
. Естественно длиной
дуги
считать предел длин ломаных, вписанных в эту кривую, при
, где
:
, (22)
![]() |
Рис. 6.
По теореме Пифагора имеем . Но в силу теоремы Лагранжа получим
,
где . Тогда
.
Если подставить эти равенства в правую часть соотношения (21), то получим интегральную сумму функции на отрезке
. Функция
непрерывна на отрезке
, поэтому предел (22) этой суммы существует и равен определенному интегралу
. (23)
Пример. Вычислить длину полукубической параболы , если
.
Общее уравнение полукубической параболы имеет вид
(рис. 7). В данном случае нужно найти длину дуги верхней ветви. Из уравнения
находим:
. Следовательно, по формуле (23) получим
. ▲
![]() |
![]() |
Рис. 8.
Разобьем отрезок на
частей точками
. На каждом частичном отрезке
выберем произвольную точку
и построим прямоугольник высотой
. При вращении вокруг оси
каждый прямоугольник опишет цилиндр радиуса
и высоты
. Искомый объем
приближенно равен сумме объемов таких цилиндров (и это равенство тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка
):
.
С другой стороны, правая часть равенства является интегральной суммой для функции по отрезку
. Так как функция
непрерывна на
, то существует конечный предел этой суммы при
:
.
![]() |
Пусть круг вращается вокруг оси
(рис. 9).
Рис. 9.
Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций и
вокруг оси
.
Уравнение окружности с центром в точке и радиуса
имеет вид
.
При этом уравнение верхней полуокружности
,
а уравнение нижней полуокружности
.
Используя формулу для объема тела вращения, получаем для объема тора выражение
. ▲
При выводе всех формул основное внимание надо обратить на метод решения: подсчитываемую величину разбиваем на части, каждую часть подсчитываем с некоторой погрешностью – получается интегральная сумма (в разобранных примерах – для непрерывной функции, и потому существуют соответствующие интегралы), а затем переходим к пределу, за счет чего получается точная формула.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие определенного интеграла вводилось и изучалось, во-первых, в предположении, что интегрируемая функция должна быть ограниченной на отрезке интегрирования, во-вторых, сам отрезок должен быть конечным. Если хотя бы одно из этих необходимых требований не выполнено, то определенный интеграл не существует.
Оказывается, существуют классы функций, для которых, хотя и нарушены указанные требования, можно говорить о существовании определенного интеграла. Естественно, при этом определенный интеграл понимается не в обычном смысле, а рассматривается некоторое его обобщение. Укажем два основных класса таких функций.
1. Несобственные интегралы первого рода. Пусть . Тогда
и, следовательно,
для
.
Определение. Несобственным интегралом 1-го рода функции на промежутке
называют предел
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример. Рассмотрим несобственный интеграл 1-го рода функции на промежутке
. При
имеем:
.
Отсюда следует, что при несобственный интеграл расходится, а при
он сходится, причем
,
.
Легко убедиться, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при (проверьте!).
Несобственный интеграл вида вводится аналогичным образом. Интеграл
определяется с использованием свойства аддитивности определенного интеграла:
.
2. Несобственные интегралы второго рода. Пусть , где
и
– некоторые числа, причем
при
(функция неограничена). Ясно, что тогда
.
Возьмем . Тогда
и, следовательно,
.
Определение. Несобственным интегралом 2-го рода функции на промежутке
называют предел
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Так же, как и выше, определяют интеграл от функции, неограниченной в окрестности точки .
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 2-го рода функции ,
, на промежутке
. При
,
имеем:
.
Из полученных соотношений следует, что если , то несобственный интеграл расходится; если же
, то сходится, причем
,
.
Рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при (проверьте!).
Наконец, если при
, где
, то полагают
.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 915 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!