Теорема о среднем значении

Теорема 7. Если и для , то такое, что

. (15)

Положим

;

тогда равенство (15) очевидно. Включение следует из оценок (14).

▲

Теореме 7 можно придать другую форму, если учесть включение .

Теорема 8. Если , то такое, что

. (16)

Пусть , . Так как функция непрерывна на , то для по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем, что такое, что . Отсюда и из теоремы 7 получим равенство (16). ▲

Рис. 2.

Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника , имеющего высоту и основание (рис. 2).

5. Интеграл с переменным верхним пределом. Сейчас перед нами стоит задача вывода основной формулы интегрального исчисления, которая устанавливает связь между понятиями определенного интеграла и первообразной.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и . Очевидно, что при изменении одного из пределов (например, верхнего) величина интеграла будет изменяться.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если , то интегрируема по любой части этого отрезка, и поэтому для существует интеграл

,

называемый интегралом с переменным верхним пределом.

Значение функции раскрывает следующая теорема.

Теорема 9. Если , то функция дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка (), причем .

Зафиксируем любое значение и придадим ему приращение столь малое, чтобы точка лежала внутри отрезка , т.е. . Тогда . Найдем производную функции . Имеем

.

Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении:

,

где , если (или , если ). Отсюда . Так как функция непрерывна на и при , то

.

Поэтому

. ▲

Замечание. Нами установлено, что любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, а именно, функцию . Поскольку всякая другая первообразная для функции может отличаться от только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде

,

где – произвольная постоянная.

В силу вышеизложенных соображений теорему 9 часто называют теоремой о существовании первообразной для непрерывной функции.

6. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема 9 не только указывает на связь между понятиями неопределенного и определенного интеграла, но и дает практический способ вычисления определенных интегралов в случае, когда подынтегральная функция непрерывна.

Теорема 10. Если функция , то

, (17)

где – первообразная для функции . Формула (17) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Поскольку функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем и, значит, существует . Далее, в силу непрерывности функции на у нее на этом отрезке существует первообразная (теорема 9).

Мы установили, что функция является одной из первообразных для функции ; следовательно, для любой первообразной имеем

. (18)

Отметим, что равенство (18) выполняется для .

Поскольку и из (18) , то . Следовательно, , в частности, . Но , откуда получаем равенство (17). ▲

Разность принято условно записывать в виде , поэтому формула (17) в краткой записи выглядит так:

.

7. Методы вычисления определенных интегралов. Так как формула Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от непрерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы вычисления неопределенных интегралов переносятся и на задачу вычисления определенных интегралов. Сформулируем эти методы с учетом специфики определенных интегралов.

Теорема 11 (о замене переменной). Пусть:

1) , ;

2) для ;

3) .

Тогда

.

Для доказательства этого равенства достаточно применить к обеим его частям формулу Ньютона-Лейбница, учитывая при этом, что если будет первообразной для , то функция будет первообразной для .

Пример.

.

Теорема 12 (об интегрировании по частям). Пусть . Тогда

.

Справедливость этой формулы следует из равенства и применения формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от функции , для которой первообразной будет функция .

Пример.

.

Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских фигур самых различных конфигураций.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенные интегралы имеют многочисленные приложения в самых разнообразных задачах. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых геометрических приложений.

1. Вычисление площадей.

а) Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – отрезком оси , а по бокам – прямыми и , вычисляется по формуле

. (19)

Обоснование этой формулы было дано ранее при введении понятия определенного интеграла. А именно, было показано, что интегральная сумма представляет собой приближенное значение площади криволинейной трапеции, и это приближенное значение тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка . Точное значение площади получается как предел интегральных сумм при , если он, конечно, существует. Но указанный предел является ни чем иным как определенным интегралом .

Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских фигур самых различных конфигураций.

Если верхняя граница криволинейной трапеции задана уравнениями в параметрической форме , , , причем , , то произведем в формуле (19) замену переменной, полагая , . Тогда получим

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , ().

Рис. 3.

Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в I четверти (рис. 3). Следовательно, искомая площадь равна

.

В частности, если полуоси эллипса равны (), то получаем известную формулу площади круга . ▲

б) Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , , причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Плоскую фигуру, ограниченную дугой этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и (, ), называют криволинейным сектором (рис. 4).

Рис. 4.

Площадь криволинейного сектора

. (20)

Разобьем произвольно отрезок точками на частей, выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку () и построим круговые секторы с радиусами . В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади криволинейного сектора:

,

где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (20). Так как функция непрерывна на отрезке , то предел этой суммы при существует и равен интегралу (20). Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

. ▲

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: , где – положительное число.

Рис. 5.

При изменении от до полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор (рис. 5). Поэтому по формуле (20) имеем

. ▲

Расстояние от точки до полюса равно . Поэтому круг радиуса имеет площадь , т.е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.

2. Длина дуги кривой. Пусть требуется определить длину дуги кривой , , где . Разобьем отрезок на частей точками . Тогда длина дуги приближенно равна длине ломаной, вписанной в данную кривую:

, (21)

где – длина хорды (одного звена ломаной) (рис. 6). Здесь точка имеет координаты . Естественно длиной дуги считать предел длин ломаных, вписанных в эту кривую, при , где :

, (22)

если, конечно, этот предел существует.

Рис. 6.

По теореме Пифагора имеем . Но в силу теоремы Лагранжа получим

,

где . Тогда

.

Если подставить эти равенства в правую часть соотношения (21), то получим интегральную сумму функции на отрезке . Функция непрерывна на отрезке , поэтому предел (22) этой суммы существует и равен определенному интегралу

. (23)

Пример. Вычислить длину полукубической параболы , если .

Общее уравнение полукубической параболы имеет вид (рис. 7). В данном случае нужно найти длину дуги верхней ветви. Из уравнения находим: . Следовательно, по формуле (23) получим

. ▲

Рис. 7.

3. Объем тела вращения. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Найдем объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , , вокруг оси (рис. 8).

Рис. 8.

Разобьем отрезок на частей точками . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и построим прямоугольник высотой . При вращении вокруг оси каждый прямоугольник опишет цилиндр радиуса и высоты . Искомый объем приближенно равен сумме объемов таких цилиндров (и это равенство тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка ):

.

С другой стороны, правая часть равенства является интегральной суммой для функции по отрезку . Так как функция непрерывна на , то существует конечный предел этой суммы при :

.

Пример. Вычислить объем тора. (Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка.)

Пусть круг вращается вокруг оси (рис. 9).

Рис. 9.

Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций и вокруг оси .

Уравнение окружности с центром в точке и радиуса имеет вид

.

При этом уравнение верхней полуокружности

,

а уравнение нижней полуокружности

.

Используя формулу для объема тела вращения, получаем для объема тора выражение

. ▲

При выводе всех формул основное внимание надо обратить на метод решения: подсчитываемую величину разбиваем на части, каждую часть подсчитываем с некоторой погрешностью – получается интегральная сумма (в разобранных примерах – для непрерывной функции, и потому существуют соответствующие интегралы), а затем переходим к пределу, за счет чего получается точная формула.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Понятие определенного интеграла вводилось и изучалось, во-первых, в предположении, что интегрируемая функция должна быть ограниченной на отрезке интегрирования, во-вторых, сам отрезок должен быть конечным. Если хотя бы одно из этих необходимых требований не выполнено, то определенный интеграл не существует.

Оказывается, существуют классы функций, для которых, хотя и нарушены указанные требования, можно говорить о существовании определенного интеграла. Естественно, при этом определенный интеграл понимается не в обычном смысле, а рассматривается некоторое его обобщение. Укажем два основных класса таких функций.

1. Несобственные интегралы первого рода. Пусть . Тогда и, следовательно, для .

Определение. Несобственным интегралом 1-го рода функции на промежутке называют предел

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл 1-го рода функции на промежутке . При имеем:

.

Отсюда следует, что при несобственный интеграл расходится, а при он сходится, причем

, .

Легко убедиться, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при (проверьте!).

Несобственный интеграл вида вводится аналогичным образом. Интеграл определяется с использованием свойства аддитивности определенного интеграла:

.

2. Несобственные интегралы второго рода. Пусть , где и – некоторые числа, причем при (функция неограничена). Ясно, что тогда .

Возьмем . Тогда и, следовательно, .

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода функции на промежутке называют предел

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Так же, как и выше, определяют интеграл от функции, неограниченной в окрестности точки .

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 2-го рода функции , , на промежутке . При , имеем:

.

Из полученных соотношений следует, что если , то несобственный интеграл расходится; если же , то сходится, причем

, .

Рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при (проверьте!).

Наконец, если при , где , то полагают

.