Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Сначала расширим понятие определенного интеграла. В определении мы считали, что . Распространим определение на случаи и , полагая
и .
1) Если – константа, то .
Интегральная сумма для функции при любом разбиении отрезка равна
,
откуда . ▲
2) Если и , то .
3) Если , то для любого отрезка .
4) Аддитивность интеграла. Для любых чисел имеет место равенство
. (12)
(Здесь предполагается, что интегралы, входящие в доказываемую формулу, существуют.)
Допустим сначала, что . Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка , то будем разбивать так, чтобы точка была точкой разбиения. Если, например, , то можно разбить на две суммы:
,
,
.
Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем равенство (12).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
Доказательство для другого расположения точек легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, ; тогда по доказанному имеем:
,
откуда получаем
,
т.е. опять пришли к равенству (12). ▲
5) Линейность интеграла. Если и , то для любых функция . При этом справедливо равенство
. (13)
В частности, из (13) получаем:
(при ),
(при ).
Для произвольного разбиения отрезка имеем
.
Переходя в равенстве к пределу при , получим соотношение (13). ▲
6) Если и для , то
.
(Подумайте о геометрическом истолковании этого свойства.)
Рассмотрим функцию (см. свойство 5). Любая интегральная сумма для функции на неотрицательна, т.к. и для . Переходя к пределу при в неравенстве , получаем
,
и осталось снова воспользоваться свойством 5. ▲
7) Если и для , то
. (14)
Следует из свойства 1 и свойства 6. ▲
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 328 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!