![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сначала расширим понятие определенного интеграла. В определении мы считали, что . Распространим определение на случаи
и
, полагая
и
.
1) Если – константа, то
.
Интегральная сумма
для функции
при любом разбиении отрезка
равна
,
откуда . ▲
2) Если и
, то
.
3) Если , то
для любого отрезка
.
4) Аддитивность интеграла. Для любых чисел имеет место равенство
. (12)
(Здесь предполагается, что интегралы, входящие в доказываемую формулу, существуют.)
Допустим сначала, что
. Так как предел интегральной суммы
не зависит от способа разбиения отрезка
, то будем разбивать
так, чтобы точка
была точкой разбиения. Если, например,
, то
можно разбить на две суммы:
,
,
.
Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем равенство (12).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
Доказательство для другого расположения точек легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например,
; тогда по доказанному имеем:
,
откуда получаем
,
т.е. опять пришли к равенству (12). ▲
5) Линейность интеграла. Если и
, то для любых
функция
. При этом справедливо равенство
. (13)
В частности, из (13) получаем:
(при
),
(при
).
Для произвольного разбиения отрезка
имеем
.
Переходя в равенстве к пределу при , получим соотношение (13). ▲
6) Если и
для
, то
.
(Подумайте о геометрическом истолковании этого свойства.)
Рассмотрим функцию
(см. свойство 5). Любая интегральная сумма
для функции
на
неотрицательна, т.к.
и
для
. Переходя к пределу при
в неравенстве
, получаем
,
и осталось снова воспользоваться свойством 5. ▲
7) Если и
для
, то
. (14)
Следует из свойства 1 и свойства 6. ▲
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 342 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!