Свойства определенного интеграла

Сначала расширим понятие определенного интеграла. В определении мы считали, что . Распространим определение на случаи и , полагая

и .

1) Если – константа, то .

Интегральная сумма для функции при любом разбиении отрезка равна

,

откуда . ▲

2) Если и , то .

3) Если , то для любого отрезка .

4) Аддитивность интеграла. Для любых чисел имеет место равенство

. (12)

(Здесь предполагается, что интегралы, входящие в доказываемую формулу, существуют.)

Допустим сначала, что . Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка , то будем разбивать так, чтобы точка была точкой разбиения. Если, например, , то можно разбить на две суммы:

,

,

.

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем равенство (12).

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, ; тогда по доказанному имеем:

,

откуда получаем

,

т.е. опять пришли к равенству (12). ▲

5) Линейность интеграла. Если и , то для любых функция . При этом справедливо равенство

. (13)

В частности, из (13) получаем:

(при ),

(при ).

Для произвольного разбиения отрезка имеем

.

Переходя в равенстве к пределу при , получим соотношение (13). ▲

6) Если и для , то

.

(Подумайте о геометрическом истолковании этого свойства.)

Рассмотрим функцию (см. свойство 5). Любая интегральная сумма для функции на неотрицательна, т.к. и для . Переходя к пределу при в неравенстве , получаем

,

и осталось снова воспользоваться свойством 5. ▲

7) Если и для , то

. (14)

Следует из свойства 1 и свойства 6. ▲