Свойства неопределенных интегралов

Теорема 3. Имеют место равенства

, (1)

, (2)

. (3)

Равенства (1) непосредственно следуют из определения. Равенства (2) и (3) устанавливаются однотипными рассуждениями, поэтому ограничимся доказательством равенства (3). Пусть – первообразная для , тогда – первообразная для . Следовательно,

.

Здесь использован тот факт, что если , то выражение так же, как и само , означает произвольную постоянную. ▲

Из приведенных в теореме 3 свойств неопределенных интегралов особо отметим равенства (1), означающие, что знаки и стоящие рядом, взаимно уничтожаются. Это легко объяснимо, если вспомнить, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции.

4. Таблица основных интегралов. Пользуясь таблицей производных основных элементарных функций, несложно составить аналогичную таблицу неопределенных интегралов.

Таблица

5. Основные методы интегрирования. При вычислении производных обычно пользуются стандартным набором правил и формул, что превращает дифференцирование в единообразную, выполняемую по одним и тем же схемам, работу. Иначе обстоит дело с интегрированием функций. Не существует единого рецепта вычисления неопределенного интеграла, пригодного для произвольных элементарных функций. Поэтому приходится рассматривать отдельные классы функций и для них разрабатывать правила по вычислению интегралов.

а) Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы основных интегралов и свойств неопределенных интегралов называют непосредственным интегрированием.

Пример. Вычислить: ; .

б) Метод замены переменной

Одним из основных при интегрировании функций является метод замены переменной (или метод подстановки), определяемый равенством

, (4)

где – дифференцируемая функция, определенная на некотором промежутке так, что существует сложная функция .

Для доказательства формулы (4) заметим, что по правилу дифференцирования сложной функции при имеем

.

Это равенство означает, что при интеграл есть в то же время и неопределенный интеграл от функции , т.е.

. ▲

Формула (4) обычно применяется в тех случаях, когда непосредственное вычисление интеграла затруднительно, однако подстановкой можно перейти к интегралу, более удобному для исследования.

Одним из вариантов метода замены переменной является способ подведения под знак дифференциала, заключающийся в преобразовании:

.

Примеры. 1) Вычислить . Это не табличный интеграл (мешает число 2). Произведем замену ; тогда , и . Поэтому

.

2) Вычислить . Подынтегральная функция определена при . Выполним замену , где . Тогда , . Следовательно,

.

Возвращаясь к переменной посредством равенства , получим:

.

3) Вычислить . Так как , то можно воспользоваться способом подведения под знак дифференциала. Имеем

Общих рекомендаций по разыскиванию нужной подстановки не существует. Умение здесь создается упражнениями.

в) Метод интегрирования по частям