Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема 5 (необходимое условие интегрируемости функции). Если , то она ограничена на .
Предположим противное, т.е. допустим, что неограничена на . Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно за счет выбора точек сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка .
Действительно, так как неограничена на , то при любом разбиении отрезка , по крайней мере, на одном из отрезков функция будет неограничена. Пусть для определенности она неограничена на отрезке . Интегральную сумму представим в виде
.
Числа во втором слагаемом выберем произвольным образом.
Зададим произвольное число и возьмем такую точку , чтобы
.
Выбрать такую точку можно всегда в силу неограниченности функции на . Тогда , и значит,
,
т.е. интегральная сумма по модулю больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма не имеет конечного предела при , а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. ▲
Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции. Докажем это утверждение.
Пример. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке :
Функция Дирихле, очевидно, ограничена: . Однако она неинтегрируема на . Покажем это. Если при любом разбиении отрезка выбрать рациональные (), то получим
,
а если взять числа иррациональными, то получим
.
Таким образом, при разбиении отрезка на сколь угодно малые отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное , так и значение, равное . Поэтому интегральная сумма при предела не имеет.
Теорема 6 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем конечное число точек разрыва, то .
(Без доказательства)
Следствие. Если , то (т.е. имеет место включение .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 2050 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!