Условия существования определенного интеграла

Теорема 5 (необходимое условие интегрируемости функции). Если , то она ограничена на .

Предположим противное, т.е. допустим, что неограничена на . Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно за счет выбора точек сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка .

Действительно, так как неограничена на , то при любом разбиении отрезка , по крайней мере, на одном из отрезков функция будет неограничена. Пусть для определенности она неограничена на отрезке . Интегральную сумму представим в виде

.

Числа во втором слагаемом выберем произвольным образом.

Зададим произвольное число и возьмем такую точку , чтобы

.

Выбрать такую точку можно всегда в силу неограниченности функции на . Тогда , и значит,

,

т.е. интегральная сумма по модулю больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма не имеет конечного предела при , а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. ▲

Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции. Докажем это утверждение.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке :

Функция Дирихле, очевидно, ограничена: . Однако она неинтегрируема на . Покажем это. Если при любом разбиении отрезка выбрать рациональные (), то получим

,

а если взять числа иррациональными, то получим

.

Таким образом, при разбиении отрезка на сколь угодно малые отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное , так и значение, равное . Поэтому интегральная сумма при предела не имеет.

Теорема 6 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем конечное число точек разрыва, то .

(Без доказательства)

Следствие. Если , то (т.е. имеет место включение .