Интегрирование некоторых классов функций 8

Составитель: кандидат физ.-мат. наук Подкуйко М.С.

СОДЕРЖАНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 8

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 17

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 26

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 32

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Здесь рассматривается обратная задача: восстановить функцию по известной производной. Указанная задача является основной для интегрального исчисления.

1. Первообразная. Символом будет обозначаться промежуток на числовой оси , т.е. – это множество вида , , или , причем промежуток может быть и бесконечным.

Определение. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для выполнено равенство .

Например, для функции первообразной на всей числовой оси служит функция , т.к. . Отметим, что для функции первообразной будет и любая функция вида , где – произвольная постоянная. Этот факт носит общий характер. А именно, верна очевидная

Теорема 1. Если – первообразная для , то функция при любом значении постоянной также является первообразной для .

Таким образом, если функция имеет первообразную , то она имеет семейство первообразных вида . Оказывается, кроме функций из этого семейства, других первообразных функция иметь не может. Для установления этого важного факта понадобится

Лемма 1. Если на промежутке , то , где – некоторая постоянная.

Лемма будет доказана, если показать, что для выполнено равенство . Пусть , . По теореме Лагранжа такое, что . Но так как для , то ; следовательно, . ▲

Теорема 2. Если – первообразная для , то любая другая ее первообразная представляется в виде при некотором значении постоянной .

Пусть и – две первообразные для . Теорема будет доказана, если показать, что при некотором постоянном выполнено тождество . Положим . Имеем

.

Тогда в силу леммы 1 , т.е. . ▲

2. Понятие неопределенного интеграла. Пусть – некоторая первообразная для функции . Тогда в силу теоремы 2 множество всех ее первообразных – это семейство функций вида . Это семейство функций называют неопределенным интегралом (от) функции и обозначают символом , т.е.

,

где – произвольная постоянная, а . (Коротко: неопределенный интеграл от функции – это множество всех ее первообразных). При этом произведение называют подынтегральным выражением, функцию – подынтегральной функцией, а переменную – переменной интегрирования.

Заметим, что из равенства следует, что выражение под знаком интеграла представляет собой дифференциал первообразной:

.

Пример. Пусть . Ее неопределенный интеграл равен

.

Ответ проверяется просто: достаточно найти производную функции .

Закономерен вопрос: какие функции интегрируемы? В дальнейшем будет установлено: если (т.е. функция непрерывна на ), то она имеет неопределенный интеграл. Пока же будет предполагаться, что существуют все рассматриваемые неопределенные интегралы.