![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Составитель: кандидат физ.-мат. наук Подкуйко М.С.
СОДЕРЖАНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 8
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 17
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 26
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 32
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Здесь рассматривается обратная задача: восстановить функцию по известной производной. Указанная задача является основной для интегрального исчисления.
1. Первообразная. Символом будет обозначаться промежуток на числовой оси
, т.е.
– это множество вида
,
,
или
, причем промежуток может быть и бесконечным.
Определение. Функция называется первообразной для функции
на промежутке
, если для
выполнено равенство
.
Например, для функции первообразной на всей числовой оси служит функция
, т.к.
. Отметим, что для функции
первообразной будет и любая функция вида
, где
– произвольная постоянная. Этот факт носит общий характер. А именно, верна очевидная
Теорема 1. Если – первообразная для
, то функция
при любом значении постоянной
также является первообразной для
.
Таким образом, если функция имеет первообразную
, то она имеет семейство первообразных вида
. Оказывается, кроме функций из этого семейства, других первообразных функция
иметь не может. Для установления этого важного факта понадобится
Лемма 1. Если на промежутке
, то
, где
– некоторая постоянная.
Лемма будет доказана, если показать, что для
выполнено равенство
. Пусть
,
. По теореме Лагранжа
такое, что
. Но так как
для
, то
; следовательно,
. ▲
Теорема 2. Если – первообразная для
, то любая другая ее первообразная представляется в виде
при некотором значении постоянной
.
Пусть
и
– две первообразные для
. Теорема будет доказана, если показать, что при некотором постоянном
выполнено тождество
. Положим
. Имеем
.
Тогда в силу леммы 1 , т.е.
. ▲
2. Понятие неопределенного интеграла. Пусть – некоторая первообразная для функции
. Тогда в силу теоремы 2 множество всех ее первообразных – это семейство функций вида
. Это семейство функций называют неопределенным интегралом (от) функции
и обозначают символом
, т.е.
,
где – произвольная постоянная, а
. (Коротко: неопределенный интеграл от функции
– это множество всех ее первообразных). При этом произведение
называют подынтегральным выражением, функцию
– подынтегральной функцией, а переменную
– переменной интегрирования.
Заметим, что из равенства следует, что выражение
под знаком интеграла представляет собой дифференциал первообразной:
.
Пример. Пусть . Ее неопределенный интеграл равен
.
Ответ проверяется просто: достаточно найти производную функции .
Закономерен вопрос: какие функции интегрируемы? В дальнейшем будет установлено: если (т.е. функция
непрерывна на
), то она имеет неопределенный интеграл. Пока же будет предполагаться, что существуют все рассматриваемые неопределенные интегралы.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 242 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!