Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости (9.1):
1). Если , тогда уравнение (9.1) примет вид
.
Координаты точки удовлетворяют этому уравнению, следовательно, в этом случае прямая проходит через начало координат.
2). Если , то уравнение (9.1) примет вид
,
или , то есть прямая параллельна оси ординат.
3). Если , то получим уравнение
,
в этом случае прямая параллельна оси абсцисс.
4). Если , то получим уравнение - это уравнение оси .
5). Если , то уравнение определяет ось .
6) Пусть прямая не параллельна ни одной оси и даны точки пересечения прямой с осями координат (рис), составим по этим данным уравнение прямой. Воспользуемся общим уравнением прямой на плоскости, в этом уравнении нужно найти коэффициенты , для этого подставим координаты точек и в уравнение, получим: ,
Рис.2.36
следовательно, , подставляем найденные коэффициенты в (2.41), получаем
или , разделим это уравнение на , получим уравнение прямой в отрезках:
.
Числа и показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная прямая.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.
Решение. Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то , воспользуемся уравнением, подставим координаты точки в это уравнение, получим
, тогда ,
подставляем в (2.44), получаем
или .
Определение 3. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.
Пусть - направляющий вектор прямой.
Определение 4. Угловым коэффициентом прямой называется отношение проекции направляющего вектора на ось ординат к его проекции на ось абсцисс.
Пусть задан угловой коэффициент прямой и точка пересечения прямой с осью . Составим уравнение этой прямой.
|
Возьмем произвольную точку на прямой (рис), тогда вектор будет направляющим, следовательно, , выразив из этого соотношения , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
. (9.2)
Пусть задана точка через которую проходит прямая и угловой коэффициент этой прямой . Надо составить уравнение этой прямой. Для этого воспользуемся уравнением (9.2), в котором требуется найти коэффициент . Подставим в уравнение (9.2) координаты точки , получим , вычитая из (9.2) данное равенство, получим:
. (9.3)
Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Если в уравнении (9.3) угловой коэффициент будет принимать всевозможные значения, то это уравнение будет определять пучок прямых с центром в точке .
Пусть задана точка , через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой. Составим уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением (9.3):
,
преобразовав это равенство, получим каноническое уравнение прямой:
. (9.4)
Уравнение (9.4) можно рассматривать как пропорцию, поэтому
,
отсюда получаем параметрические уравнения прямой на плоскости:
(9.5)
Пусть даны две точки , через которые проходит прямая. Составим уравнение данное прямой. Воспользуемся каноническим уравнением прямой (9.4), где в качестве направляющего вектора возьмем вектор :
(9.6)
Оба уравнения в (9.6) являются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 977 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!