![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
![]() |
Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:
. (3.1)
Пусть плоскость не параллельна ни одной из осей, тогда эта плоскость отсекает на осях координат отрезки (см. рис).
Воспользуемся общим уравнением (3.1) плоскости, где
.
Найдем коэффициенты уравнения, используя координаты точек пересечения плоскости с осями координат. Так как эти точки лежат в плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению, следовательно,
, откуда
,
, тогда
и
, тогда
. Подставляя эти соотношения в (3.1), получим
, так как
, разделим это равенство на
и получим
. (3.2)
Это уравнение плоскости в отрезках на координатных осях, числа показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная плоскость.
Пусть известны координаты вектора нормали к плоскости и координаты точки
, которая принадлежит плоскости. Надо составить уравнение данной плоскости.
Возьмем произвольную точку плоскости , тогда вектор
тоже будет принадлежать плоскости, вектор нормали, перпендикулярный плоскости, перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, то есть
, а тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю
(3.3)
Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали. При всевозможных значениях равенство (3.3) определяет совокупность всех плоскостей, проходящих через точку
, и называется уравнением связки плоскостей, проходящих через заданную точку.
Пример 1. Даны точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
.
Решение. Вектор будет являться вектором нормали плоскости, его координаты равны
. Теперь воспользуемся уравнением (3.3):
или
Пусть заданы три точки . Надо составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки. Для этого возьмем произвольную точку
этой плоскости, тогда векторы
лежат в данной плоскости, то есть компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю
, или
(3.4)
Уравнение (3.4) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 278 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!