Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Линейная алгебра»
для направления 080100 «Экономика»
Рязань 2012
Темы 5, 6. Элементы аналитической геометрии
На плоскости и в пространстве
Общее уравнение плоскости в пространстве
Положение плоскости в пространстве относительно выбранной системы координат определяется ее расстоянием от начала координат () и единичным вектором, который перпендикулярен плоскости и направлен от начала координат к плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку . При движении точки по плоскости ее радиус-вектор меняется, но он все время связан некоторым условием, а именно:
Так как , то
это нормальное уравнение плоскости в векторной форме.
Если воспользоваться тем, что , то получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:
Утверждение. Любое уравнение первой степени с тремя переменными определяет плоскость.
Доказательство. Рассмотрим уравнение 1-ой степени с тремя переменными
Пусть - проекции постоянного вектора на оси координат; - проекции радиус-вектора точки , тогда уравнение примет вид
Рассмотрим три случая: 1) пусть , разделим левую и правую части уравнения на ,
получим
обозначим , так как , то , получаем
2) пусть , разделим левую и правую части уравнения на , уравнение примет вид
обозначим >0, тогда вновь получим
3) пусть , в этом случае левую и правую части уравнения можно разделить на или на
, тогда уравнение примет вид
или
То есть линейное уравнение 1-ой степени с тремя переменными всегда может быть приведено к уравнению, являющемуся нормальным уравнением плоскости, значит оно определяет плоскость.
Линейное уравнение 1-ой с тремя переменными (2.32) называется общим уравнением плоскости. Из предыдущих рассуждений следует, что вектор , проекциями которого на оси координат являются коэффициенты при переменных общего уравнения плоскости, коллинеарен единич-
ному вектору , перпендикулярному плоскости, будет перпендикулярен плоскости.
Определение 2.21. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному, надо умножить его на нормирующий множитель
знак противоположен знаку коэффициента , если , то знак выбирается произвольно.
Следовательно, , тогда
Если , то берется верхний знак, если , то нижний знак.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 293 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!