Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и Э.Д.С. векторами или комплексными числами.

Пусть ток изменяется по синусоидальному закону

i=I_m(sinwt+j).

Возьмем прямоугольную систему координат и расположим под углом j относительно горизонтальной оси ОХ вектор , длина которого равна I_m. Положительные углы j откладываются против, а отрицательные - по направлению часовой стрелки (рис2.2).

Рис.2.2. Векторная диаграмма тока.

Представим, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала координат 0 против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. В момент времени t₁ вектор составит с осью ОХ угол wt₁+j. Его проекция на ось ОУ равна в выбранном масштабе мгновенному значению тока

i₁=I_msin(wt₁+j).

Таким образом, между мгновенным значением i и вектором можно установить однозначную связь. На этом основании вектор называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

Если считать оси ОХ и ОУ осями вещественных (действительных) и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу, модуль которого равен I_m, а аргумент углу j. Это комплексное число I _m, называется комплексной амплитудой тока. Оно обозначается большой буквой, подчеркнутой внизу.

Комплексную амплитуду тока можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

(2.4)

где .

Если правую и левую часть уравнения (2.4) разделить на , то получим комплекс действующего значения тока.

Аналогичное уравнение можно получить для синусоидально изменяющегося напряжения и Э.Д.С.:

Если вектор , начиная с момента времени t = 0, вращается против направления движения часовой стрелки с угловой скоростью w, то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:

Значение ее мнимой части (без j) равно рассматриваемой синусоидально изменяющийся величине j.

Таким образом, величина j и ее изображение комплексная амплитуда однозначно связаны следующим равенством:

где символ Im обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.