Вектор в декартовой прямоугольной системе координат

Определим проекцию вектора на ось

Проекции точек и на ось - точки и . Это точки пересечения с осью плоскостей и , проведенных через точки и перпендикулярно оси . Проекцией вектора на ось называется величина отрезка .

. (3.17)

Здесь и - координаты точек начала и конца отрезка .

С другой стороны, если перенести вектор (оставляя

(

его параллельным исходному положению) до совмещения точек и то проекцию вектора можно представить так:

(3.18)

Проекция вектора на ось

(3.19)

Аналогично представляются проекции вектора на оси и

(3.20)

(3.21)

В трехмерном пространстве принято использовать базис из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины и , которые являются ортами осей декартовой прямо-угольной системы координат. Такой базис называется ортонормированным.

Вектор может быть разложен по базису , то есть:

. (3.22)

Коэффициенты разложения определены однозначно, так как равны проекциям вектора на оси координат. Если совместить начало вектора с началом координат (Рис. 3.4), то вектор . Проекции вектора на оси координат равны величинам отрезков .

В соответствии с правилами сложения векторов

(3.23)

С учетом соотношений 3.19, 3.20 и 3.21 можно записать:

(3.24)

Здесь - орт вектора . Разложение орта по базису имеет вид

(3.25)

В соответствии теоремой Пифагора для трехмерного случая

, (3.26)

а также

(3.27)

Принято называть и направляющими косинусами вектора , и - углы между вектором и осями и .

(3.28)

(3.28*)

Задачи № 752, 757, 763, 781, 784, 785.

Вопросы для повторения

1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Системы аксиом для операций сложения векторов и умножения вектора на число.
2. Линейная зависимость векторов ─ определение. Теорема о линейной зависимости векторов и её следствия.
3. Базис трехмероного пространства ─ определение. Разложение вектора по базису и координаты вектора относительно базиса. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Теорема о преобразованиях координат вектора при сложении векторов и умножении вектора на число.
4. Ортонормированный базис в трехмерном пространстве. Орты декартовых осей координат. Правая и левая системы ортов и осей координат.
5. Проекции вектора на оси декартовой системы координат. Направляющие косинусы вектора. Орт вектора и его представление через направляющие косинусы.