Понятие вектора и линейные операции над векторами

Геометрическим вектором, или просто вектором будем называть направленный отрезок.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок , где точки и обозначают начало и конец вектора, либо малыми латинскими буквами со стрелкой .

Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля: Так это длина вектора .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых..

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Мы не различаем два равных вектора, имеющих различные точки приложения. В соответствии с этим вектора в аналитической геометрии считаются свободными.

Линейными операциями над векторами принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.

Определение 3.1 Суммой двух векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора .

Для операции сложения векторов справедливы четыре аксиомы:

1) (переместительное свойство);

2) (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор , такой, что ;

4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

Рис. 3.1

Определение 3.2 Разностью двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Можно показать, что , где - вектор, противоположный вектору . В самом деле,

.

Если привести вектора и к общему началу и построить параллелограмм на этих векторах, то вектор совпадет с диагональю параллелограмма, проходящей через общее начало, а вектор совпадет с другой его диагональю. Иначе говоря, разность векторов и , приведенных к общему началу, есть вектор , направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора . Рисунок 3.2 наглядно иллюстрирует последние утверждения.

Определение 3.3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное в случае .

Эта операция обладает следующими свойствами:

5)

6)

7)

Вектор единичной длины называется ортом и обозначается символом . - это орт вектора .

Очевидно что, , откуда следует, что (3.1)