Декартовы координаты

1. Направленные отрезки на оси.

Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью. Выберем также единицу масштаба.

Рис. 2.1

Отрезок на оси называется направленным если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Величиной направленного отрезка называется число, равное длине отрезка, взятое со знаком плюс, если направление отрезка и оси совпадают, и со знаком минус в противном случае. Если точки начала и конца отрезка совпадают, то отрезок «нулевой». Условием равенства двух направленных отрезков на оси является равенство их величин.

Линейными операциями над направленными отрезками будем называть операции сложения таких отрезков и умножения направленного отрезка на вещественное число.

Для определения суммы направленных отрезков и совместим начало второго отрезка с концом первого отрезка. Полученный при этом отрезок называется суммой направленных отрезков.

(2.1)

Теорема 2.1 Величина сумы направленных отрезков на оси равна сумме величин слагаемых. При любом расположении точек на оси величины направленных отрезков удовлетворяют соотношению

(2.2)

Рис.2.2 наглядно иллюстрирует утверждение теоремы.

Рис. 2.2

Произведением направленного отрезка на число называется направленный отрезок, обозначаемый , направленный так же как при и противоположно направленный при .

Величина направленного отрезка равна .

2. Декартовы координаты на прямой вводятся указанием направления на оси, выбором единицы измерения и точки начала отсчёта. Декартовой координатой точки будем называть величину направленного отрезка .

Рис. 2.3

Пусть и - две точки на оси. Установим выражение величины направленного отрезка через координаты и его начала и конца.

Теорема 2.2 Величина направленного отрезка равна , т.е.

(2.3)

Доказательство. Рассмотрим на оси три точки . Согласно теореме 2.1 справедливо равенство

(2.4)

Так как а то из соотношения (2.4) следует соотношение (2.3). Теорема доказана.

Следствие. Расстояние между точками определяется по формуле

(2.5)

Декартовы координаты на плоскости образуют две взаимно перпендикулярные оси с общим началом отсчета и общей масштабной единицей. Ось называется осью абсцисс ось - осью ординат. Проекции точки на оси и обозначим и .

Рис.2.4

Декартовыми прямоугольными координатами и точки будем называть величины направленных отрезков и

Оси координат разбивают плоскость на четыре квадранта. В первом квадранте и , во втором , и так далее при обходе начала координат в направлении против часовой стрелки.

Декартовы координаты в пространстве вводятся аналогично декартовым координатам на плоскости. Три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Оси абсцисс и ординат здесь те же самые и . Третья ось называется осью аппликат.

Система координат называется правой, если из конца оси кратчайший поворот от оси к оси виден происходящим в направлении против часовой стрелки.

Рис. 2.5

Декартовыми прямоугольными координатами точки будем называть величины направленных отрезков , и .

Через каждую пару осей можно провести координатные плоскости , которые разбивают пространство на восемь октантов. Нумерация октантов проводится в направлении против часовой стрелки. Первые четыре октанта расположены над плоскостью , остальные под ней.