Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений

Задача 4.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение: 1)Составим определители, соответствующие исходной системе и каждому неизвестному:

; ; ;

тогда решение можно будет определить по формулам Крамера.

2)Вычислим определитель системы: сложим соответствующие элементы первой и второй строк, затем первой и третьей, получим во втором столбце нули, кроме элемента в первой строке. Найдем определитель разложением по второму столбцу: .

Определитель ненулевой, значит, система имеет решение.

2)Вычислим оставшиеся определители:

;

;

.

Откуда решение системы:

; ; .

3)Проверяем подстановкой полученных значений в исходную систему:

. Ответ: ; ; .

Задача 4.2. Решить систему линейных уравнений матричным методом .

Решение: Введем обозначения: ; ; .

тогда исходная система запишется в виде: , откуда решение определяется по формуле: . Определим обратную матрицу:

1) определитель матрицы определитель не равен нулю:

,

следовательно, решение существует; 2) транспонируем матрицу:

; 3) находим алгебраические дополнения к каждому элементу: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4) обратная матрица формируется из алгебраических дополнений, записанных вместо элементов транспонированной матрицы, и деленных на определитель исходной матрицы: .

Проверяем выполнение условия: :

.

Находим решение: .

Проверяем: . Ответ: ; ; .

Задача 4.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

Решение. Составим расширенную матрицу: .
Преобразуем матрицу так, чтобы исключить переменную из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем умножим элементы первой строки на (-4) и сложим с элементами третьей строки:

Умножим элементы второй строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: . Уравнение, соответствующее третьей строке матрицы, противоречиво:

или , следовательно, система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.

Задача 4.4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

Решение. 1)Составим расширенную матрицу: .

2) Преобразуем ее так, чтобы исключить переменную из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки; умножим элементы первой строки на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки; умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: {Поменяем местами вторую и четвертую строки} {Умножим элементы второй строки на и сложим с элементами третьей строки} {Умножим элементы третьей строки на и сложим с соответствующими элементами четвертой строки и переставим местами третий и четвертый столбцы}

.

Из последнего уравнения находим переменную .

6) Подставляя в третье уравнение значение переменной находим значение переменной : .

7) Из соответствующих уравнений находим оставшиеся переменные:

;

.

8) Проверяем:

.

Ответ: ; ; ; .