Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости

Задача 2.6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение: 1)По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости , а это значит, ее уравнение принимает вид: , где . 2) Нормаль этой плоскости должна быть , где , откуда , следовательно, общее уравнение принимает вид: , или (по условию ). Ответ: .

Задача 2.7

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение: 1)У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль . 2) По формуле (2.1) получаем: , или .

Ответ: .

Задача 2.8

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка – известна, осталось найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна: и . 3) По свойству векторного произведения: если , то и , значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное произведение: , откуда координаты нормали: . 4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение (2.1), находим общее уравнение: . После преобразования получим Ответ: .

Задача 2.9

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Решение: 1)Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: , и . 2) Очевидно, что вектора и будут лежать в одной плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:

4) Найдем координаты нормали:

5) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение (2.1), находим общее уравнение:

. Ответ: .

Задача 2.10

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

Решение: 1)Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой ; – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: . 2) Нормаль плоскости имеет координаты , что следует из вида общего уравнения плоскости (2.2). 3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору и нормали плоскости , то есть является их векторным произведением: . Откуда:

, или .

4) Подставим в общее уравнение плоскости (2.2) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: .

Ответ: .

Задача 2.11

Записать уравнение плоскости, проходящей через точки , и образующей с плоскостью угол равный .

Решение: 1)Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой ; – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: .

2) Так как нормаль искомой плоскости перпендикулярна этому вектору , то . Скалярное произведение в декартовой системе координат определяется по формуле: , откуда получаем уравнение

3) Нормаль плоскости имеет координаты . Подставим известные значения в формулу (2.4):

,

или .

1. Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестных: .

2. Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на :

,

3. Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:

, откуда .

4. Получили пропорцию коэффициентов нормали: , откуда в качестве координат нормали возьмем .

5. Уравнение плоскости запишется в виде:

. Ответ: .