![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 2.6
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
Решение: 1)По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости , а это значит, ее уравнение принимает вид:
, где
. 2) Нормаль этой плоскости должна быть
, где
, откуда
, следовательно, общее уравнение принимает вид:
, или
(по условию
). Ответ:
.
Задача 2.7
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
Решение: 1)У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль . 2) По формуле (2.1) получаем:
, или
.
Ответ: .
Задача 2.8
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам
и
.
Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка – известна, осталось найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна:
и
. 3) По свойству векторного произведения: если
, то
и
, значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное произведение:
, откуда координаты нормали:
. 4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение (2.1), находим общее уравнение:
. После преобразования получим Ответ:
.
Задача 2.9
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами ,
,
.
Решение: 1)Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: ,
и
. 2) Очевидно, что вектора
и
будут лежать в одной плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:
4) Найдем координаты нормали:
5) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение (2.1), находим общее уравнение:
. Ответ:
.
Задача 2.10
Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ,
перпендикулярно плоскости
.
Решение: 1)Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой
;
– точка, с помощью которой строим вектор
, лежащий в искомой плоскости. Его координаты:
. 2) Нормаль
плоскости
имеет координаты
, что следует из вида общего уравнения плоскости (2.2). 3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору
и нормали плоскости
, то есть является их векторным произведением:
. Откуда:
, или
.
4) Подставим в общее уравнение плоскости (2.2) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: .
Ответ: .
Задача 2.11
Записать уравнение плоскости, проходящей через точки ,
и образующей с плоскостью
угол равный
.
Решение: 1)Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой
;
– точка, с помощью которой строим вектор
, лежащий в искомой плоскости. Его координаты:
.
2) Так как нормаль искомой плоскости перпендикулярна этому вектору
, то
. Скалярное произведение в декартовой системе координат определяется по формуле:
, откуда получаем уравнение
3) Нормаль плоскости
имеет координаты
. Подставим известные значения в формулу (2.4):
,
или .
1. Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестных: .
2. Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на :
,
3. Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:
, откуда
.
4. Получили пропорцию коэффициентов нормали: , откуда в качестве координат нормали возьмем
.
5. Уравнение плоскости запишется в виде:
. Ответ:
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 736 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!