![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 1.1.
Даны два вектора и
. Найти координаты вектора
.
Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно:
.
Ответ: .
Задача 1.2
Найти координаты вектора , соединяющего точку
с координатами
и точку
с координатами
.
Решение: Обозначим координаты точки как
, координаты точки
как
. Из свойства 2 следует: вектор
имеет координаты
. Подставляем исходные значения:
.
Ответ: .
Задача 1.3
Доказать, что два вектора и
коллинеарны.
Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат:
, откуда:
. Равенство верно.
Ответ: исходные вектора коллинеарны.
Задача 1.4
Задан вектор и известно, что точка
имеет координаты
. Найти координаты точки
– начала вектора.
Решение: Введем обозначения: – координаты вектора
,
– координаты точки
,
– координаты точки
.
1. Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: ;
.
2. Подставим известные величины: ;
; откуда искомые координаты:
;
. Ответ: точка
имеет координаты
.
Задача 1.5
Найти , если
и
, где
,
, угол
.
Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу выражения разложения векторов по базису:
1. Преобразуем скалярное произведение согласно 2 и 6 свойству:
2. Приведем подобные члены в полученном выражении и применим 3-е свойство скалярного произведения:
3. Вставим исходные данные и распишем формулу скалярного произведения базисных векторов:
. Ответ: 99.
Задача 1.6
Для векторов и
найти их проекции друг на друга:
и
в декартовой системе координат.
Решение: Для определения проекции найдем скалярное произведение векторов; для декартовой системы координат справедлива формула:
. Подставляем исходные координаты:
. Найдем длину
, из формулы для декартовых координат имеем:
. Подставим найденные значения в искомую формулу:
. Аналогично найдем вторую проекцию:
. Ответ:
;
.
Задача 1.7
Определить в декартовой системе координат угол между вектором с координатами {4, 1, 1} и вектором
с координатами {2, 2, -1}.
Решение: Для вычисления угла по формуле необходимо определить длины векторов и их скалярное произведение.
. Определяем длины векторов
;
. Подставляем в формулу:
. Решая данное тригонометрическое уравнение, получим:
. Ответ:
.
Перед рассмотрением таких операций над векторами, как векторное и смешанное произведения, введем понятие определителя. С помощью определителя векторное и смешанное произведения можно представить через координаты векторов.
Задача 1.8
Определить длину вектора , если координаты вектора
и вектора
заданы в декартовой системе координат.
Решение: Сначала находим координаты вектора по формуле для определителя:
. Теперь по формуле вычисления длины вектора через его декартовы координаты имеем:
.
Ответ: .
Задача 1.9
Найти длину вектора , если координаты вектора
и вектора
заданы в аффинной системе координат с базисом:
,
,
.
Решение: Разложим исходные вектора по базису: ;
. Подставим в выражение для
и используем свойства векторного произведения:
.
По формуле длины векторного произведения имеем:
. Ответ:
.
Задача 1.10
Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами ,
,
.
Решение: Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллелограмма:
. Длину векторов в декартовых координатах вычисляем по формуле:
;
; Подставляем в искомую формулу:
. Ответ:
.
Задача 1.11
Вычислить смешанное произведение , если
,
,
.
Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то можно воспользоваться формулой представления смешанного произведения через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:
. Ответ: –25.
Задача 1.12
При каких значениях параметра (если таковые существуют) вектора
и
являются коллинеарными?
Решение: Два вектора коллинеарны, тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0; нам известны координаты векторов в декартовой системе координат, поэтому распишем векторное произведение:
, которое должно быть равно нулю. Поэтому составляем следующее уравнение:
. Вектор
является базисным, поэтому он не может быть равным нулю, откуда:
. Решая данное уравнение относительно параметра
, получаем:
. Ответ: при
векторы
и
коллинеарны.
Задача 1.13
При каком , если оно существует, векторы
,
и
компланарны?
Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда получаем: . Раскрываем определитель
. Это выражение должно быть равно нулю:
. Решая данное уравнение относительно
, получаем:
. Ответ: при
исходные векторы компланарны.
Задача 1.14
Смешанное произведение . Найти смешанное произведение
.
Решение: Согласно определению смешанного произведения:
{Используя свойства векторного произведения, имеем}
{Так как
, получаем}
{По свойствам скалярного произведения}
{По определению смешанного произведения выражение преобразуется}
{В смешанном произведении неважен порядок векторного и скалярного произведения, поэтому выражение можно преобразовать}
{Так как
, получаем}
{Произведя циклическую перестановку членов смешанного произведения и учитывая знак, имеем}
{Используя тот факт, что
, полчаем ответ}
.
Ответ: .
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 2500 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!