![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.
Основные понятия векторной алгебры
Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости и
. Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки
в точку
(Рис. 1.1). Точка
называется началом вектора, точка
– концом.
Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор
Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой – или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора –
.
Определение 1 .2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.
Определение 1 .3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).
Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.
Определение 1 .4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.
Определение 1 .5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).
Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов
Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают: и
.
Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.
1.1.1 Операции над векторами
Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.
Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.
Сложение векторов. Сумма двух векторов строится как вектор, идущий от начала вектора
к концу вектора
, если вектор
приложен к вектору
(Рис. 1.3).
Рис. 1.3. Сумма двух векторов
Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.
Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.
Свойства операции сложения векторов:
1) коммутативность
2) ассоциативность:
3) для любого вектора :
.
4) для любого вектора справедливо:
.
Вектор называют противоположным вектору
и обозначают как
.
Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Рис.1.4):
Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма
Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на скаляр является
вектор
, удовлетворяющий условиям:
1) вектор коллинеарен вектору
;
2) имеет длину ;
3) сонаправленный при
и антинаправленный при
.
Свойства операции умножения вектора на скаляр:
1) ненулевые векторы и
коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число
такое, что
;
2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;
3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;
4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;
5) ,
.
Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .
Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.
Пример 1.1:
Решить уравнение относительно
:
Решение: Переносим в правую часть уравнения:
; делим правую и левую части на коэффициент при
, равный 2. Получаем решение в виде:
.
Ответ: .
1.1.2 Базис и разложение векторов
Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов называется вектор
, а числа
- коэффициентами линейной комбинации.
Определение 1.9. Совокупность векторов называется линейно независимой, если существуют такие числа
, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что
; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все
, то вектора
называют линейно зависимыми.
Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора и
. Тогда любой вектор
можно представить в виде:
и притом, единственным образом.
Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор – базисом, а коэффициенты при базисе:
– координатами разложения.
С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису
называются координатами точки в построенной системе координат:
.
Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице:
. Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.
Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора
относительно декартова базиса как
.
В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора равна:
.
Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.
В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка
- начало аффинной системы координат.
Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:
1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;
2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;
3) векторы и
коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1066 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!