Основы векторной алгебры

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Основные понятия векторной алгебры

Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости и . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки в точку (Рис. 1.1). Точка называется началом вектора, точка – концом.

Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор

Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой – или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – .

Определение 1 .2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Определение 1 .3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).

Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение 1 .4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Определение 1 .5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).

Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов

Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают: и .

Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.

1.1.1 Операции над векторами

Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.

Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.

Сложение векторов. Сумма двух векторов строится как вектор, идущий от начала вектора к концу вектора , если вектор приложен к вектору (Рис. 1.3).

Рис. 1.3. Сумма двух векторов

Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.

Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.

Свойства операции сложения векторов:

1) коммутативность

2) ассоциативность:

3) для любого вектора : .

4) для любого вектора справедливо:

.

Вектор называют противоположным вектору и обозначают как .

Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Рис.1.4):

Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на скаляр является вектор , удовлетворяющий условиям:

1) вектор коллинеарен вектору ;

2) имеет длину ;

3) сонаправленный при и антинаправленный при .

Свойства операции умножения вектора на скаляр:

1) ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число такое, что ;

2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;

3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;

5) , .

Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .

Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.

Пример 1.1:

Решить уравнение относительно :

Решение: Переносим в правую часть уравнения: ; делим правую и левую части на коэффициент при , равный 2. Получаем решение в виде: .

Ответ: .

1.1.2 Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов называется вектор , а числа - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9. Совокупность векторов называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все , то вектора называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора и . Тогда любой вектор можно представить в виде: и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор – базисом, а коэффициенты при базисе: – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису называются координатами точки в построенной системе координат: .

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка - начало аффинной системы координат.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: