Билет 16. Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом

Нормальное уравнения прямой это уравнение прямой , , где a - угол между нормалью к прямой и осью Ox, причём нормаль направлена из начала координат в сторону прямой и p – расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом:

Вывод нормального уравнения прямой:

Введём сразу две системы координат – полярную и цилиндрическую так, чтобы их начала совпадали, и ось полярной системы совпадала с осью Ox цилиндрической. Тогда выражение справедливо для . Преобразуем это выражение: (Т.к. и ), или .

Нормальное уравнение прямой применяется для вычисления расстояния от данной точки плоскости до прямой. Рассмотрим случай, когда точка и точка O лежат по одну сторону от прямой. Расстояние от то l равно . Рассмотрим нормальное уравнение прямой, параллельной l (): , где . Т.к. точка , то – верное равенство, значит, . . Если точка и точка O лежат по одну сторону от прямой l, то расстояние от до l равно . Следовательно, расстояние от до l равно .

Приведём общее уравнение прямой к нормальному виду ( к ). Очевидно, что коэффициенты пропорциональны, т.е. . Тогда и знак m - нормирующий множитель, противоположен знаку C.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Геометрический смысл коэффициентов A B C в обоих случаях - расстояние от нач. координат до точки принадлежащей плоскости (прямой) по осям соответственно Ox Oy & Oz.

Отклонением точки от прямой называется расстояние от этой точки до прямой, взятое со знаком «+», если эта точка и начало координат располагаются по одну сторону от прямой и «–» - если по разные стороны, т.е. отклонение равно .

С помощью нормальных уравнений прямой можно составлять уравнения биссектрис, образованных двумя прямыми:

Пусть - первая прямая, - вторая прямая. Для того чтобы получить одну из биссектрис, необходимо приравнять левые части уравнений:

. Для второй: .

Пусть прямые и заданы общими уравнениями

и