![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.
Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.
Пусть - базис в пространстве и вектор
. Тогда числа a, b и g называют координатами вектора
в базисе
.
Базис образует аффинную систему координат.
Углом между векторами называют наименьший из углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим по приведения из к общему началу. Обозначение: .
Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.
Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.
- геометрическая проекция
на ось l.
- скалярная проекция
на ось l.
Свойства проекции вектора на ось:
1. .
2. .
3. .
Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат
ДСК – частный случай аффинной системы координат.
Разложим по базису
, который образует декартову систему координат и центр которого совпадает с началом вектора
:
. Здесь x, y и z – координаты вектора в базисе. Тогда
,
,
.
Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат
Пусть a, b и g - углы, которые образует с осями ДСК (Ox, Oy и Oz). Тогда
,
и
называют направляющими косинусами
. Пусть x, y и z – координаты вектора
в ДСК. Тогда
,
,
,
,
,
,
.
Если даны две точки М1 и М2, являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его коорлинаты X Y Z вычисляются по вормулам X=x2-x1 Y=y2-y1 Z=z2-z1.
Формула |a|=Sqrt(X^2+Y^2+Z^2) позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Если q w e – углы, которые состовляют вектор а с координатными осями, то cos q cos w cos e называются направляющими косинусами вектора а. Вследствии X=|a|cosq Y=|a|cosw Z=|a|cose
Отсюда следует, что cos^2q+cos^2w+cos^2e=1
Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве.
В -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов
, выходящих из одной точки
. Аффинными координатами точки
называют такие числа
, что
Tочку и систему векторов
называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора
— координатными осями.
На аффинной плоскости координату
называют абсциссой, а
— ординатой точки
. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.
Линейные операции над векторами в аффинных координатах
Пусть ,
.
Свойства линейных операций:
1. .
2. .
3. .
4. для
.
5. .
6. .
7. .
8. .
Пусть в пространстве выбран базис и пусть
и
. Тогда
,
,
,
. Таким образом,
,
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 353 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!