Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, взятая по абсолютной величине, постоянна. Абсолютную величину этой разности принято обозначать .

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями действительной и мнимой записывается в виде:

.

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 50. Точка называется центром гиперболы, точки называются вершинами гиперболы, и – фокусами гиперболы. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Длина отрезка , равная , называется фокусным расстоянием, а – полуфокусным расстоянием. Величины и связаны соотношением . Гипербола – кривая, симметричная относительно начала координат и координатных осей. В отличие от эллипса гипербола незамкнутая кривая, имеющая асимптоты – прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются, не пересекая их и не касаясь. Уравнения асимптот

и .

Каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром:

.

Центр гиперболы находится в точке с координатами .

Рассмотрим другие варианты уравнений гиперболы. Уравнение

является каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат и полуосями – действительной и мнимой . Т.е. в этом случае вершины гиперболы находятся на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты (рис. 51). Такие гиперболы называются сопряженными. На рис. 51 гипербола изображена пунктирной линией. Уравнение определяет гиперболу с центром в точке с координатами и полуосями – действительной и мнимой .

Определить какая ось действительная, а какая мнимая, легко по уравнению гиперболы, знак «+» перед квадратом переменной указывает на действительную ось, знак «–» указывает на мнимую ось.

Если в уравнении гиперболы , гипербола называется равнобочной или равносторонней.

Чтобы построить гиперболу по её уравнению или , надо:

1 найти и ,

2 на оси в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины ,

3 на оси в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины ,

4 построить основной прямоугольник, проведя через концы всех четырех отрезков прямые, параллельные осям координат,

5 построить асимптоты гиперболы, для этого в полученном основном прямоугольнике провести прямые, содержащие диагонали прямоугольника,

6 отметить вершины гиперболы – точки пересечения основного прямоугольника с действительной осью гиперболы,

7 построить гиперболу. (Если требуется более точный чертеж, можно найти из уравнения еще несколько точек гиперболы)

Для построения гиперболы, заданной уравнением или , необходимо сначала нанести положение центра на координатную плоскость, провести через центр оси симметрии и . Построить основной прямоугольник с центром в точке и сторонами и , провести диагонали прямоугольника, отметить вершины гиперболы на действительной оси и провести кривую (рис. 52).

Определение. Эксцентриситетом гиперболы, так же как и эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси:

,

здесь – полуфокусное расстояние, – действительная полуось.

Для гиперболы , так как . С учетом можно записать

.

Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение , и тем больше вытянут её основной прямоугольник.

Определение. Директрисами гиперболы называются прямые , где – действительная полуось (рис. 53). Директрисы гиперболы имеют то же свойство, что и директрисы эллипса. Если – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы .