Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть заданы две прямые в пространстве:

(1)

(2)

1) Если прямые параллельны, их направляющие векторы и колинеарны:

- условие параллельности прямых в пространстве.

2) Если и не колинеарны, то прямые пересекаются или скрещиваются. Прямые пересекаются, если они лежат в одной плоскости. При этом векторы компланарны:

()=0,

Здесь

Если прямые принадлежат одной плоскости, то они либо параллельны, либо пересекаются

Угол между пересекающимися прямыми находится по формуле:

;

ð условие перпендикулярности прямых в пространстве:

Если прямые скрещиваются, то представляет интерес задача нахождения кратчайшего расстояния между ними. Для этого нужно найти расстояние между параллельными плоскостями, проведенными через прямые (1) и (2).Для этого построим параллелепипед на векторах и найдем высоту этого параллелепипеда. Причем основание этого параллелепипеда построено на векторах .

Задача Выяснить взаимное положение прямых в пространстве.

Даны прямые

и

.

Решение. Векторы , - векторы неколлинеарны, следовательно, прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые лежат в одной плоскости (пересекаются), то векторы , , - компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю, (, , )=0.

, следовательно прямые скрещиваются.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и их всегда можно расположить в параллельных плоскостях. Построим параллелепипед на векторах , ,и (Рис. 38), где , , - направляющие векторы данных прямых, а М₁и М₂– это фиксированные точки, принадлежащие соответственно первой и второй прямой. Тогда искомое расстояние равно высоте параллелепипеда.

Рис. 38

Найдем

Отсюда

.

Задача. Доказать, что прямые пересекаются. Найти точку их пересечения.

и .

5. Прямая и плоскость в пространст ве.