Условие параллельности прямой и плоскости

Рис. 42

Из Рис. 42 видно, что в этом случае векторы и перпендикулярны, условие перпендикулярности векторов и есть условие параллельности прямой и плоскости: или в координатной форме: .

Если при этом координаты точки М₀(x₀,y₀,z₀) удовлетворяют уравнению плоскости, то прямая принадлежит этой плоскости.

Примеры решения задач.

Задача Найти точку пересечения прямой с плоскостью Решение. Координаты точки пересечения прямой с плоскостью находятся из совместного решения уравнений прямой и плоскости, т.е. из системы:

Запишем уравнения прямой в параметрической форме

Подставим эти выражения в уравнение плоскости

Отсюда , а из параметрических уравнений прямой получим координаты точки пересечения

Задача. Составить уравнений прямой, проходящей через точку М₀(1,2,-6) перпендикулярно плоскости .

Решение.

Рис. 43

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y,z).(Рис. 43)

Векторы и параллельны. Здесь - нормальный вектор плоскости. По условию параллельности векторов и

.

Получены канонические уравнения искомой прямой.

Задача Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(5,2,-6) перпендикулярно прямой .