Окружность

Определение. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки – центра на данное расстояние – радиус.

Окружность определена, если заданы её центр и радиус.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

.

Полагая , получим уравнение окружности с центром в начале координат:

.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её принято обозначать ).

Для того, чтобы получить ур-ие эллипса в простом виде ось ОХ направим через фокусы, а начало координат поместим в середине отрезка, соединяющего фокусы. Пусть М(х,у) – любая точка эллипса. По определению эллипса

Обозначим расстояние между фокусами через . Тогда фокусы будут иметь координаты и .

Длина первого вектора

и второго , т.о.

Возведем в квадрат и получим

Еще раз возведем его в квадрат и получим

По свойству сторон треугольника

Обозначим через и разделим обе части последнего равенства на и получим

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями и

Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 47. Точка называется центром эллипса, точки называются вершинами эллипса, и – фокусами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями эллипса, а числа и соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка , равная , называется фокусным расстоянием, а – полуфокусным расстоянием. Величины и связаны соотношением .

Если , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси , а малая – на оси , фокусы такого эллипса находятся на оси в точках и , а .

Каноническое уравнение эллипса со смещенным центром имеет вид:

,

центр эллипса находится в точке с координатами рис. 48.

Чтобы построить эллипс по его уравнению , надо:

1. найти и ,

2. на оси в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины ,

3. на оси в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины ,

4. через концы всех четырех отрезков провести прямые, параллельные осям координат (получили основной прямоугольник эллипса),

5. в полученный прямоугольник вписать эллипс. (Если требуется более точный чертеж, можно найти из уравнения еще несколько точек эллипса.)

Для построения эллипса, заданного уравнением , необходимо сначала нанести положение центра на координатную плоскость, провести через центр эллипса оси симметрии и , построить основной прямоугольник с центром в точке со сторонами и , вписать в него эллипс (рис. 48).

Определение. Отношение называется эксцентриситетом эллипса и характеризует форму (степень сжатия) эллипса.

Для эллипса , так как . С учетом можно записать

.

Чем больше эксцентриситет, тем больше эллипс отличается от окружности (более «сплющен»).

Определение. Директрисами эллипса называются прямые , где – большая полуось (рис. 49).

Свойство директрис состоит в следующем. Если – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса .