![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Существуют два способа однозначного определения плоскости в пространстве.
Способ 1. Пусть в некоторой системе координат задана точка М0(x0,y0,z0) и вектор (A,B,C). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору
.
Решение. Пусть М(x,y) – произвольная точка плоскости (Рис.19).
Рис. 19
Вектор =(x-x0; y-y0; z-z0) перпендикулярен вектору
, т.е. (
,
)=0. Запишем это уравнение в координатной форме:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 ( 17 )
(17)– уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору (A,B,C).
Уравнение (1) можно привести к виду:
Ax+By+Cz+D=0 ( 18 ), где D= -(Ax0+By0+Cz0).
Уравнение (18) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при x, y, z в этом уравнении – координаты нормального вектора плоскости.
Опр. Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором.
Способ 2. Пусть в некоторой системе координат дана точка M0(x0;y0;z0) и два неколлинеарных вектора (m1;n1;p1) и
(m2;n2;p2). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам
и
.
Решение. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) (Рис. 20).
Рис. 20
По условию задачи вектор =(x-x0; y-y0; z-z0) и векторы
и
компланарны. Условие компланарности и является уравнением искомой плоскости: (
,
,
)=0 или в координатной форме:
Раскрывая определитель и приводя подобные, получим уравнение вида:
Ax+By+Cz=0.
Все задачи на составление уравнения плоскости решаются либо первым либо вторым способом.
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(x1,y`1,z1), M2(x2,y`2,z2), M3(x3,y`3,z3)?
Через три точки на плоскости можно провести два некомпланарных вектора, например:
=
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
и
=
=(x3-x1,y3-y1,z3-z1). (Рис.21).
Рис. 21
Любая из трех точек может быть использована в качестве точки М0, пусть это будет точка М1. Т. о. Плоскость задана вторым способом. Пусть M(x,y,z) – произвольная точка плоскости. Векторы ,
и
– компланарны. Следовательно, смешанное произведение векторов равно нулю:
(,
,
)=0.
Или, переходя к координатам векторов, будем иметь:
Задача. Даны три точки .
Составить ур-ие плоскости, проходящей через т.М1 перпендикулярно вектору
нормальный вектор плоскости.
- векторное ур-ие плоскости.
.
2) Составить ур-ие плоскости, проходящей через 3 данные точки
Векторы компланарны, следовательно
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 399 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!