Плоскость в пространстве

Существуют два способа однозначного определения плоскости в пространстве.

Способ 1. Пусть в некоторой системе координат задана точка М₀(x₀,y₀,z₀) и вектор (A,B,C). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору .

Решение. Пусть М(x,y) – произвольная точка плоскости (Рис.19).

Рис. 19

Вектор =(x-x₀; y-y₀; z-z₀) перпендикулярен вектору , т.е. (, )=0. Запишем это уравнение в координатной форме:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 ( 17 )

(17)– уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору (A,B,C).

Уравнение (1) можно привести к виду:

Ax+By+Cz+D=0 ( 18 ), где D= -(Ax₀+By₀+Cz₀).

Уравнение (18) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при x, y, z в этом уравнении – координаты нормального вектора плоскости.

Опр. Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором.

Способ 2. Пусть в некоторой системе координат дана точка M₀(x₀;y₀;z₀) и два неколлинеарных вектора (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам и .

Решение. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) (Рис. 20).

Рис. 20

По условию задачи вектор =(x-x₀; y-y₀; z-z₀) и векторы и компланарны. Условие компланарности и является уравнением искомой плоскости: (, , )=0 или в координатной форме:

Раскрывая определитель и приводя подобные, получим уравнение вида:

Ax+By+Cz=0.

Все задачи на составление уравнения плоскости решаются либо первым либо вторым способом.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(x₁,y_{`1</sub>,z<sub>1</sub>), M<sub>2</sub>(x<sub>2</sub>,y<sub>`2},z₂), M₃(x₃,y_`3,z₃)?

Через три точки на плоскости можно провести два некомпланарных вектора, например:

= =(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)

и

= =(x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁). (Рис.21).

Рис. 21

Любая из трех точек может быть использована в качестве точки М₀, пусть это будет точка М₁. Т. о. Плоскость задана вторым способом. Пусть M(x,y,z) – произвольная точка плоскости. Векторы , и – компланарны. Следовательно, смешанное произведение векторов равно нулю:

(, , )=0.

Или, переходя к координатам векторов, будем иметь:

Задача. Даны три точки .

Составить ур-ие плоскости, проходящей через т.М₁ перпендикулярно вектору

нормальный вектор плоскости.

- векторное ур-ие плоскости.

.

2) Составить ур-ие плоскости, проходящей через 3 данные точки

Векторы компланарны, следовательно