Расстояние от точки до прямой

Пусть дана точка М₁(x₁,y₁) и прямая Ax+By+C=0. Найдем расстояние от точки М₁ до прямой. Возьмем на прямой т.М₀(х₀, у₀). Векторы и коллинеарны,

рассмотрим их скалярное произведение и учтем, что

расстояние от т.М₁ до прямой.

т.к. т. прямой, то ее координаты удовлетворяют ур-ию прямой .

. Следовательно

(16)

Заметим, что числитель получается подстановкой координат точки М₁ в ур-ие прямой.

Пример. Убедиться, что данные прямые параллельны и найти расстояние между ними:

т.к. координаты нормальных векторов пропорциональны , то прямые параллельны. Возьмем любую т. на одной прямой и найдем расстояние от этой точки до другой прямой по формуле (16):

.