Уравнение линии в декартовой системе координат

Основные задачи аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии является метод координат. Метод координат позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие пару чисел – их координат и каждой точке пространства – тройку чисел. С помощью координат можно учесть все точки плоскости и пространства, что позволяет соединить в единое целое геометрию и анализ.

Аналитическая геометрия решает две основные задачи:

1) Известно уравнение некоторого геометрического места точек в определенной системе координат. Требуется установить каким свойством обладают точки этого геометрического места.

2) Обратная задача: задано некоторое геометрическое место точек, обладающих определенным свойством. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты этого геометрического места точек относительно какой-либо системы координат.

Прежде чем рассматривать примеры задач, рассмотрим способы задания линии на плоскости.

1. Способы задания линии на плоскости.

Уравнение линии в декартовой системе координат

Опр. Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии, а координаты любой точки, не принадлежащей линии, уравнению не удовлетворяют.

Из этого определения следует решение простой задачи: выяснить, лежит ли данная точка на заданной линии. Если при подстановке координат точки в уравнение линии получается числовое равенство (тождество), то точка лежит на данной линии; если тождество не получается, то точка линии не принадлежит.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат (рис. 1). Для того, чтобы составить уравнение некоторого геометрического места точек (линии L), нужно взять любую точку М (х, у) этого геометрического места и, используя свойства геометрического места точек, получить уравнение F (х, у) = 0.

Точки пересечения двух линий F₁ (х, у) = 0 и F₂ (х, у) = 0 находят из системы уравнений

Если система (1.1) имеет действительное решение, то линии пересекаются. Число точек пересечения равно числу решений системы. Если действительных решений нет, то линии общих точек не имеют.

Рис.1