Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u=u(x), υ=υ(х) – непрерывно дифференцируемые функции т.е. имеющие непрерывные производные u`(x), υ`(x) на отрезке [a,b].

Имеем:

.

Интегрируя это равенство в пределах от a до b и учитывая, что

и ,

находим

.

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

. (1)

Для краткости употребляется обозначение

,

Пример. Найти .

Полагая u=x, dυ=cosxdx=d(sinx), получим du=dx, υ=sinx. Применим формулу (1), будем иметь:

.