Теорема о среднем

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумент. (Предполагается, что верхний предел интегрирования больше нижнего.

Доказательство: В самом деле, в силу формулы Ньютона-Лейбница имеем

, (1)

где F`(x)=f(x). Применяя к разности первообразных теорему о конечном приращении функции, получим

F(b)-F(a)=(b-a)F`(c)=(b-a)f(c),

где a < c < b. Отсюда

, (2)

где a < c < b.

Замечание. Формуле (2) при f(x) ≥0 можно дать простую геометрическую иллюстрацию. В самом деле, левая часть ее представляет собой площадь криволинейной трапеции AabB, где АВ имеет уравнение y=f(x) и a,b – абсциссы точек А и В. Правая же часть этой формулы выражает площадь прямоугольника с основанием b-a и высотой сС, равной f(c) (рис. 4)

Таким образом, формула (2) геометрически означает, что можно всегда подобрать на дуге АВ такую точку С с абсциссой с, заключенной между а и b, что площадь соответствующего прямоугольника aDEb с высотой сС будет в точности равна площади криволинейной трапеции aABb.

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией, равновелика площади прямоугольника с тем же «основанием» и высотой, равной некоторой средней ординате линии.

Число f(c)=μ носит название среднего значения функции f(x) на промежутке [a,b]. Из формулы (2) имеем:

. (3)