Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим интеграл

, (1)

где t [a,x] [a,b] (во избежание путаницы, переменная интегрирования обозначена другой буквой).

Если F(x) – первообразная функции f(x), т.е.

F`(x)=f(x),

то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем

. (2)

Отсюда

.

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

. (3)

Таким образом, интеграл

(4)

является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим, что из формулы (2) следует, что Ф. (а)=0, т.е. Ф. (х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в нуль при х=а.

Пример. Имеем

.

Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным нижним пределом

,

где х [a,b].

На основании формулу Ньютона-Лейбница имеем

.

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.

Замечание. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на основании связи неопределенного интеграла с первообразной будем иметь

при a ≤ x ≤ b, где С – произвольная постоянная.