Свойство аддитивности

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Действительно, пусть, например,[a,b]=[a,c] [c,b], где a ≤ c≤ b. Тогда, полагая F`(x)=f(x) имеем:

. (3)

Замечание. Формула (3) остается верной, если с лежит вне отрезка [a,b] и подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезках [a,c] и [c,b].

В. Свойство линейности.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Действительно, пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a,b] и А – постоянная величина, тогда А F(x) есть первообразная для Аf(x), так как

.

Имеем

.

VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Действительно, рассмотрим, например, алгебраическую сумму

f(x)+g(x)-h(x) (4)

трех непрерывных функций f(x), g(x), h(x) и пусть F(x), G(x), H(x) – их первообразные, т.е.

F`(x)= f(x), G`(x)= g(x), H`(x)= h(x).

Тогда F(x) + G(x) - H(x) является первообразной для суммы (4), так как

.

Отсюда имеем

.