Пример

Среди 50 изделий 20 окрашенных. Наугад отобрали три изделия. Постройте ряд распределения числа окрашенных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение. Случайная величина X – число окрашенных деталей среди отобранных. Она может принимать следующие значения: . Соответствующие им значения найдем, исходя из классического определения вероятности:

Отсюда ряд распределения с. в. X имеет вид:

	0,216	0,444	0,291	0,058

(Контроль: .)

Примеры:

1. Монету бросают 5 раз. Составите закон распределения количества выпавших гербов.

Решение. Случайная величина X – число выпадений герба. При однократном бросании монеты вероятность выпадения герба равна , то есть

При пятикратном бросании монеты герб может выпасть 0, 1, 2, 3, 4 и 5 раз, следовательно, случайная величина X принимает следующие значения: Найдем вероятности этих значений, используя формулу Бернулли:

;

;

Закон распределения имеет вид:

	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

(Контроль: .)

2. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б равны соответственно 0,7 и 0,9. Составите закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Постройте многоугольник распределения.

Решение. Пусть А: {событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен по дисциплине А }; B:{событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен по дисциплине Б }. Случайная величина X – число экзаменов, которые сдал студент. Она может принимать следующие значения: Соответствующие им значения найдем, исходя из теорем сложения и умножения вероятностей:

Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

	0,03	0,34	0,63

(Контроль: .)

Строим многоугольник распределения (рис. 2):

Рис. 2. Многоугольник распределения

3. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб., велосипед стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб. Найдите закон распределения случайной величины выигрыша для лица, имеющего один билет, если число билетов равно 100.

Решение. Случайная величина X – выигрыш для лица, имеющего один билет. Она может принимать следующие значения: . Соответствующие им значения найдем, исходя из классического определения вероятности. Если , то выигрыш составляет 0 руб. Всего билетов 100, а невыигрышных 97, значит Если значение случайной величины X равно 40, то . Аналогично находятся и :

.

Закон распределения имеет вид:

	0,97	0,01	0,01	0,01

(Контроль: .)

4. Дана случайная величина Х:

	–2
	0,5	0,3	0,2

Найдите закон распределения с. в.: а) ; б) .

Решение.

а) Значения случайной величины Y будут равны:

с теми же вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Итак, Y =3 X:

	–6
	0,5	0,3	0,2

б) найдем значения случайной величины Z: (–2)²=4; 1²=1; 2²=4, то есть . Искомые вероятности будут равны: , . Тогда закон распределения с. в. Z имеет вид:

	0,3	0,7

5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и .

X:					Y:		–2
		0,5	0,2	0,3			0,1	0,6	0,3

Найдите закон распределения случайных величин: а) б)

Решение.

а) Составим вспомогательную таблицу:

	Y	–2
Х		0,1	0,6	0,3
	0,5	0– (–2)=2	0–0=0	0–2=–2
	0,2	2– (–2)=4	2–0=2	2–2=0
	0,3	4– (–2)=6	4–0=4	4–2=2

Итак, с. в. Z может принимать значения: . Вероятности соответственно будут равны:

,

Тогда закон распределения с. в. Z имеет вид:

	–2
	0,15	0,36	0,26	0,2	0,03

(Контроль );

б) составим вспомогательную таблицу:

	Y	–2
Х		0,1	0,6	0,3
	0,5
	0,2
	0,3

Итак, с. в. Z может принимать значения: . Вероятности соответственно будут равны:

,

.

Итак, с. в. имеет следующий закон распределения:

	–8	–4
	0,03	0,02	0,8	0,06	0,09

(Контроль ).