Дискретная случайная величина. Законы распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности.

Законом распределения д. с. в. называется соответствие между возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями .

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически, то есть с помощью формул , определяющих вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение . Если д. с. в. Х принимает конечное множество значений соответственно с вероятностями , то закон распределения можно задать в виде таблицы:

			…
			…

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей равна единице, то есть

.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (х_i, p_i) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученная при этом линия называется многоугольником распределения случайной величины Х (рис. 1).

Рис. 1. Многоугольник распределения

Теперь можно дать более точное определение д. с. в.

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел таких, что

и .

Общая схема решения задач на построение законов распределения будет следующей:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь в задаче;

2) описание множества ее возможных значений ;

3) рассмотрение выполнения каждого из равенств как случайного события;

4) вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения с вероятностью

и д. с. в. Y, принимающей значения с вероятностями

называется д. с. в.

Z=X+Y (Z=X – Y, Z=X·Y),

которая принимает значения (, ) с вероятностями для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм (разностей , произведений ) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число λ называется д. с. в. λX, принимающая значения с вероятностями .

Две д. с. в. X и Y называются независимыми, если события и независимы для любых , то есть

.

В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин.

Биномиальное распределение. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Очевидно, что в этих п испытаниях событие А может появиться 0, 1, 2,…, п –1, п раз. Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

.

,

,

--------------------------------

,

.

			…	n-1	n
			…

Пример.

Монета брошена два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» , . При двух бросаниях монеты «герб» может появиться 0, 1 и 2 раза, то есть . Вероятности этих значений равны:

,

.

Искомый закон примет вид:

	0,25	0,5	0,25

(Контроль: )

Распределение Пуассона. Если вероятность р наступления события А в п испытаниях постоянна и мала (), а число испытаний достаточно велико (), то вероятность того, что при п независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз находится по формуле Пуассона:

, где

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, если число опытов устремляется к бесконечности, а вероятность события стремится к 0, причем их произведение остается постоянным. С этим связано еще одно название распределения Пуассона – закон редких событий.