Доказательство. — матрица оператора в некотором координатном базисе

Пусть где

—

— матрица оператора в некотором координатном базисе . Возьмем любой .

Пусть

Запишем формулу связи между координатами х и :

.

Это матричное уравнение запишем в виде системы

(1)

Видим, что тогда и только тогда, когда его координаты удовлетворяют системе (1). Следовательно, совпадает с пространством решений системы (1), поэтому где Получаем, что

Задача. Линейный оператор пространства в базисе задан матрицей . Найти образ вектора . Найти ядро, дефект, область значений и ранг .