Решение. 1. Найдем Запишем формулу связи между координатами векторов х и :

1. Найдем Запишем формулу связи между координатами векторов х и :

Таким образом,

2. Найдем . По определению ядра , если .

Пусть тогда

или или

Ядро совпадает с пространством решений последней системы, решим ее.

.

.

Найдем фундаментальную систему решений.

х ₁ х ₂ х ₃ х ₄

_______________________

(1 -1 1 0) = а ₁

(-5 3 0 1) = а ₂

3. Найдем область значений оператора .

.

.

Координатные столбцы векторов — это столбцы матрицы А. Так как то в качестве базиса подпространства можно взять любые два непропорциональных столбца матрицы А, например, и

Таким образом,

или