Теоретическая справка. Комплексным числом z называется выражение вида

Комплексным числом z называется выражение вида

z=x+iy,

(алгебраическая форма числа z), где x и y- вещественные числа, i -мнимая единица, определяемая условием i ²=-1.

Число называется сопряженным к z.

Если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то

z₁±z₂=(x₁±x₂)+i(y₁±y₂).

z₁z₂=(x₁±iy₁)(x₂+iy₂)=x₁x₂+ix₁y₂++ix₂y₁+i²y₁y₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁)

При делении двух комплексных чисел следует числитель и знаменатель умножить на - число, сопряженное к знаменателю.

Число r (рис.1) называется модулем комплексного числа z и обозначается :

Угол j называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z, при этом tgj=

Аргумент j определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного 2p: j=argz+2pR, R=0,±1,±2,…,

где - p<arg£p- главное значение аргумента.

Так как x=rcosj, y=r sinj, то комплексное число z можно представить в виде:

z=x+iy= r (cosj+ i sinj)=|z|(cosj+ i sinj)

Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Если заданы два комплексных числа в тригонометрической форме z₁=r₁(cosj₁+ i sinj₁) и z₂=r₂(cosj₂+ i sinj₂), то

z₁z₂=r₁r₂(cos(j₁+j₂)+ i sin(j₁+j₂)),

zⁿ=rⁿ(cos n j+ i sin n j).

Корнем n-jq степени из комплексного числа z называется такое комплексное число v, что

vⁿ=z

Обозначение для корня: v= . Корень n-ой степени из числа z=r (cosj+ i sinj) имеет n различных значений, определяемых по формуле

,

R =0,1,…, n -1.

Геометрически числа v_R располагаются в вершинах правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.

Пример 1.7. Дано комплексное число z=

1) Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах.

2) Найти

Решение.

1) алгебраическая форма

;

Так как число z находится в 4-й четверти, то .

Таким образом, тригонометрическая форма числа z:

2) .

где R принимает значения 0,1,2.

При R=0

При R=1

При R=2