Теоретические сведения. Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и .

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

1. найти область определения функции;
2. исследовать на четность и нечетность функцию;
3. найти точки разрыва функции;
4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество .

Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке .

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.

,

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,

где ;

Таким образом, прямая является единственной наклонной асимптотой и на , и на .

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .

б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из получаем , откуда , .

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из получаем , откуда , .

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+"). На основании проведенного исследования построим график функции: