Теоретические сведения. Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла

1) ; 3) ;

2) ; 4) , если а = const;

5) Если , то , где u (x) – любая дифференцируемая функция.

Таблица основных интегралов:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

; 11. ;

5. ; 12. ;

6. ;

13. ; 14. ;

15. ;

16. .

Определение 1. Уравнение, содержащее дифференциал функции или производную, называется дифференциальным.

Например: , , .

Определение 2. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в истинное равенство.

Упражнение. Проверить: Является функция решением дифференциального уравнения .

Проверка:

Найдём производную функции:

Подставим найденное выражение в левую часть уравнения:

Левая часть равна правой, следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения .

Определение 3. Уравнение вида , в котором переменные расположены в разных частях уравнения, называется дифференциальным уравнением I порядка с разделяющимися переменными.

Метод решения основан на интегрировании каждой части уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение: из формулы дифференциала функции выразим производную . Подставим в уравнение. Уравнение примет вид: .

Домножим уравнение на dx, тогда

Переменные разделены. Можно интегрировать:

- это решение называется общим.

Пусть заданы значения переменных x= 1, y=3 – это начальные условия. Они нужны, чтобы получить частное решение, в котором будет определено значение константы С.

Подставим значения переменных в уравнение и выразим С.

3=
- частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти частное решение: (5;10)

Решение: xdy = ydx

Разделим уравнение на

Сократим дроби.

Можно интегрировать:

Заменить

По теореме о логарифмах

тогда общим решением будет: или y=Cx

Подставим координаты точек: x= 5, y= 10

Таким образом, y= 2 x - частное решение.

Пример 3. Найти частное решение: (0;1)

Решение: (т.к. )

Разделим уравнение на «y»

Пусть С lnC и

. По теоремам о логарифмах получаем:

-общее решение

Пусть y=0, y= 1, определим С.

С=1

- частное решение дифференциального уравнения.

Пример 4. Найти общее решение:

Решение: преобразуем уравнение к виду: ( 3 x- 2 )dy=(y+ 4 )dx

Разделим уравнение на (3 x- 2)(y +4)

Можно интегрировать: .

Данные интегралы решаем методом подстановки

а)

б)

Результаты подставить в уравнение:

, где С lnC

(по теоремам о логарифмах)

-общее решение